积分之所以比微分难得多，原因在于局部和整体之间的区别。局部问题很容易，而整体问题则很难。
微分是一种局部操作。正如前文所说，我们在计算导数的时候，就像在显微镜下观察事物一样。随着我们反复放大视野中的曲线，曲线的弯曲度看上去越来越小。我们看到了曲线的放大版，它是一段微小的斜坡，几乎完全笔直，垂直高度是Δy，水平距离是Δx。在放大倍数为无穷的极限情况下，它趋近某条直线，即显微镜中心点的切线，这条极限线的斜率就是该点的导数。显微镜的作用是让我们把注意力集中在我们关心的那段曲线上，而其他一切都会被忽略。正因为如此，我们才说求导是一种局部操作，它舍弃了唯一关注点的无穷小邻域以外的所有细节。
而积分是一种整体操作。我们现在用的不是显微镜，而是望远镜。我们试图眺望远方或者预测未来（尽管在这种情况下我们需要一个占卜用的水晶球），这自然要难得多。所有干预事件都很重要，而且不能被舍弃，或者至少看起来如此。
我会用类比的方式阐明局部和整体、微分与积分之间的这些区别，以及积分如此困难但在科学上却如此重要的原因。这个类比把我们带回到北京奥运会期间博尔特打破100米世界纪录的那场比赛。回想一下，为了求出他的瞬时速度，我们先用一条光滑曲线去拟合显示他在赛道上的位置随时间变化的数据。然后，为了求出他在某个时刻（比如比赛进行到7.2秒时）的速度，我们利用拟合曲线来估计他在一小段时间后（比如7.25秒时）的位置，再用距离的变化量除以时间的变化量，估算出他在那一时刻的速度。这些都是局部计算，它们利用的唯一信息就是他在那个给定时刻前后的几百分之一秒内的运动情况，而他在比赛其余部分的所作所为则无关紧要。这就是我所说的局部的含义。
相比之下，如果我们拿到一份展示博尔特在比赛中的所有瞬时速度的无限长的电子表格，并且要重建他在比赛开始后7.2秒时的位置，那么请你想一想我们需要用到哪些信息。当博尔特离开起跑器时，我们可以利用他的初始速度和距离等于速度乘以时间的公式，去估算某一时刻（比如0.01秒后）他在跑道上的位置。从那个新的位置起，我们可以在接下来的0.01秒内，让他以相应的速度再在赛道上向前跑相应的距离。像这样一点一点地在赛道上不断前进，每次累积0.01秒的信息，我们就可以更新他在整场比赛中的位置。在计算方面，这是一件费力的苦差事，也是整体计算如此困难的原因。我们需要计算每一步，才能得到一个关于遥远未来（在这个例子中是发令枪响后7.2秒时）的期望答案。
但如果我们能以某种方式快进，直达我们关注的那个瞬间，那么这种方法将大有帮助。而且，这正是反向积分问题的解决方案所要实现的效果。它将为我们提供一条穿越时间的捷径或者一个虫洞，从而把整体问题转化成局部问题。这就是解决反向问题好似找到了微积分圣杯的原因。
和许多事情一样，这个问题也是由一个学生率先解决的。