代数的兴起与几何学的衰落

代数的兴起与几何学的衰落

在代数出现之前的十几个世纪里，几何学的发展非常缓慢。公元前212年阿基米德去世之后，似乎没有人或者几乎没有人能在几何学上超越他。250年前后，中国几何学家刘徽改进了阿基米德计算圆周率的方法。两个世纪后，祖冲之将刘徽的方法应用于24 576边形，并通过绝对称得上壮举的计算，把圆周率的虎钳收紧到8位数：

3.141 592 6＜π＜3.141 592 7

又过了5个世纪，几何学才取得了新的进展，相关成就来自智者海什木[1]，欧洲人都称他为阿尔哈曾。965年前后，海什木出生于伊拉克巴士拉。在伊斯兰黄金时代，他在开罗从事过神学、哲学、天文学和医学等领域的工作。在几何学方面，海什木对阿基米德从未考虑过的固体体积进行了计算。尽管这些成就令人印象深刻，但在长达12个世纪的时间里，它们对几何学来说只是罕见的活跃迹象。

而在同样长的时间跨度内，代数和算术则取得了迅速和实质性的进步。印度数学家发明了零的概念和十进制计数法。解方程的代数方法在埃及、伊拉克、波斯和中国纷纷涌现，这在很大程度上受到了继承法、纳税评估、商业、记账、利息计算，以及其他适合用数字和方程解决的实际问题的驱动。正如花剌子模在著名的教科书《代数学》中阐释的那样，当时代数仍然全部是文字题，给出的解决方案则像食谱，只能一步一步地得出答案。最终，贸易商、零售商和探险家将这种文字形式的代数和印度–阿拉伯数字向西带入欧洲。与此同时，人们开始将阿拉伯语文本翻译成拉丁语。

将代数本身从其实际应用中剥离出来，并作为一种符号系统加以研究，这是在文艺复兴时期的欧洲进行的。16世纪，代数的发展达到了巅峰，看上去跟它今天的样子有些许相似之处，即用字母来表示数字。1591年，法国的弗朗索瓦·韦达[2]用元音字母来表示未知量，比如A和E；用辅音字母来表示常量，比如B和G。（今天我们用x、y和z表示未知量，以及用a、b和c表示常量的方法，大约是在17世纪40年代由勒内·笛卡儿率先开始使用的）。用字母和符号代替单词，这使得方程的变换和求解变得容易许多。

算术领域中的一个同等重大的进步来自荷兰的西蒙·斯蒂文，他将印度–阿拉伯的十进制数加以扩展，发明了十进制分数[3]。在这个过程中，他摒弃了过去亚里士多德学派用于区分数（由不可分割的单位构成的整数）和量值（可被无限分割成任意小部分的连续量）的方法。在斯蒂文之前，十进制数只被用来表示一个量的整数部分，任何小于一个单位的部分则用分数来表示。而在斯蒂文的新方法中，即使一个单位也可以被切分，并且通过在小数点后摆放正确的数字，就可以把它表示成十进制形式。尽管它现在听起来很简单，但却是一个让微积分成为可能的革命性想法。一旦这个单位不再是神圣而不可分割的，所有量（整数、分数和无理数）就都处在平等的地位上，并汇聚成一个大的数族。在描述空间、时间、运动和变化的连续性时，这种方法为微积分提供了它所需的无限精确的实数。

就在几何学与代数结合之前，古老的阿基米德几何法迎来了它的最后一次狂欢。17世纪初，开普勒算出了葡萄酒桶和环形固体等曲线形状的体积，他采取的方法是在头脑中把这些形状切割成无穷多个无穷小的薄片。与此同时，伽利略和他的学生埃万杰利斯塔·托里拆利、博纳文图拉·卡瓦列里[4]也算出了各种形状的面积、体积和重心，他们采取的方法是把这些形状当作无穷多的线和面来处理。由于这些人都以一种漫不经心的方式对待无穷和无穷小，所以他们的方法并不严谨，但却直观有效。和穷竭法相比，这些方法能更容易和更快速地得出答案，似乎是一个令人兴奋的进步（不过，现在我们知道阿基米德已经抢先一步了；同样的想法就隐藏在他的著作《抛物线求积法》中，但它那时还被尘封在修道院的祈祷书中，直到1899年才重见天日）。

无论如何，尽管阿基米德方法的继承者取得的进展在当时看似前景光明，但沿用老方法注定是不会成功的。符号化代数才是此刻的行动方向，而且在它的帮助下，它最活跃的两个分支——解析几何和微分学——也终于到了播种的时候。