代数与几何学的邂逅
第一个突破发生在1630年前后，两位（即将成为竞争对手的）法国数学家皮埃尔·德·费马和勒内·笛卡儿分别将代数与几何学联系在一起。他们的研究工作开创了一个新的数学学科——解析几何，它的中央舞台就是让方程变得生动和具体的xy平面。
今天，我们用xy平面来描绘变量之间的关系。比如，看看我那偶尔不太像话的饮食习惯产生的热量影响。我有时早餐会吃几片肉桂葡萄干面包，包装袋上写着每片的热量高达200卡路里（如果想吃得健康些，我会勉强接受妻子买来的七谷面包，每片的热量为130卡路里。但在这个例子中，我更喜欢吃肉桂葡萄干面包，因为不考虑营养问题而只从数学角度看，200是一个比130更合适的数字）。
图4–1展示了我在吃掉1片、2片和3片肉桂葡萄干面包后摄入的热量。
图4-1
因为每片面包的热量是200卡路里，所以2片的热量是400卡路里，3片是600卡路里。当它们作为数据点被标示在图表上时，三个点都落在同一条直线上。从这个意义上说，摄入的热量和吃掉的面包数量之间存在着线性关系。如果我们用字母x表示吃掉的面包数量，用y表示摄入的热量，那么这种线性关系可以概括为y=200x。这种关系同样适用于数据点之间的情况，比如，1.5片面包的热量是300卡路里，其对应的数据点也会落在这条直线上。所以，在这样的图表中，把点连接起来是有意义的。
尽管我知道这一切似乎都显而易见，但我想说明的是，情况并不总是这么明显。不仅在过去不明显（有人不得不想办法去描绘抽象的可视化图表上的关系），在今天仍然不明显，至少对刚开始学习这种图表的孩子们来说是这样的。
这里涉及几次想象力的跳跃。其中一次跳跃是用图表示食物摄入量，这需要思维的灵活性，因为热量本身并不具有形象化的性质。我们看到的图表并不是展示嵌在面包中的葡萄干和棕色螺旋形肉桂的写实图画，它是抽象的，并且能使不同的数学域相互作用和合作：数域，比如热量或面包数量；符号关系域，比如y=200x；形状域，比如在有两条垂直轴的图表上，落在一条直线上的点，等等。通过这种思想的汇聚，不起眼的图表将数、关系和形状混合在一起，实现了算术、代数与几何学的融合。经过几个世纪的独立发展，不同的数学分支此时聚集在一起，这才是最重要的事。（回想一下，古希腊人在让几何学凌驾于算术和代数之上后，不让或者很少让它们相互结合。）
另一次跳跃涉及水平轴和垂直轴，我们常用变量来为它们命名，即x轴和y轴。这些轴是数轴，顾名思义，数被表示成直线上的点。就这样，算术与几何学结合在一起，甚至在我们还没有标示任何数据的时候，它们就已经结合起来了！
对于这种违背规则的做法，古希腊人一定会厉声反对。因为对他们来说，数只表示离散量，比如整数和分数。相比之下，那种可以用一条线的长度来衡量的连续量则被视为量值，它的概念分类与数截然不同。因此，从阿基米德生活的时代到17世纪初的接近2 000年的时间里，数都绝对不会被视同于一条直线上所有点的连续体。从这个意义上说，数轴的概念无异于离经叛道的存在。不过，现在我们已经不这样想了，而且我们希望小学生都能明白数可以用这种方式直观地表示出来。
从古希腊人的角度看，这种图表亵渎上帝之处还在于，它完全无视同类之间的比较，比如，苹果跟苹果比，热量跟热量比。相反，它的一个轴是热量，另一个轴是面包数量，两者之间不能直接做比较。然而，今天的我们在画这类图表时，会毫不迟疑地进行这样的比较。因为我们把热量和面包数量都转换成数，也就是实数、无穷小数等连续数学中的“通用货币”。尽管希腊人对长度、面积和体积做出了严格的区分，但对我们来说，它们都是实数。