方程与曲线

方程与曲线

可以肯定的是，费马和笛卡儿从未利用xy平面去研究像肉桂葡萄干面包这样的有形事物。对他们来说，xy平面是研究纯粹几何学的工具。

在他们各自的研究过程中，两个人都发现，任意一个线性方程（x和y只以一次幂形式出现的方程）在xy平面上都可以表示成一条直线。线性方程和直线之间的这种联系，会让人联想到有可能存在一种更深层次的联系，即非线性方程与曲线之间的联系。在像y=200x这样的线性方程中，变量x和y均独自出现，而没有平方、立方或者更高次方的形式。费马和笛卡儿意识到，他们可以构建他们想要的任何方程，对x和y进行他们想要的任何变换——将其中一个平方，将另一个立方，再将它们相乘或者相加——然后把结果诠释成一条曲线。幸运的话，它会是一条有趣的曲线，或许还是人们从未想象过或者阿基米德从未研究过的曲线。任何含有x和y的方程都是一次新的冒险，也是一种格式塔转换。你不是从一条曲线开始，而是从一个方程开始，看看它能描绘出什么样的曲线。这就好比让代数来驾车，而把几何学安置在后座上一样。

费马和笛卡儿从二次方程入手，在这类方程中，除了普通的常量（比如200）和线性项（比如x和y）之外，变量还可以平方或者相乘，产生像x2、y2和xy这样的二次项。传统上，平方量一直被解读为正方形区域的面积，因此，x2表示边长为x的正方形的面积。过去，人们认为面积是一个与长度或者体积完全不同的量；但对费马和笛卡儿来说，就像x、x3或者x的其他任意次方一样，x2只是另一个实数，这意味着它也可以被绘制在数轴上。

今天，学习高中代数的学生应该都能画出y=x2（对应的曲线是一条抛物线）之类方程的图像。值得注意的是，含有x和y的二次项但不含有它们的更高次方的其他所有方程，只对应着4类曲线，即抛物线、椭圆、双曲线或者圆（图4–2）。比如，二次方程xy=1的图像是双曲线，x2+y2=4的图像是圆，x2+2y2=4的图像是椭圆。即使像x2+2xy+y2+x+3y=2这样令人头疼的二次方程，也只对应着上述4类曲线中的一种，事实上它的图像是抛物线。

费马和笛卡儿最先发现了这种奇妙的巧合：含有x和y的二次方程是希腊人研究的圆锥截面的代数对应物，这4类曲线是以不同角度切割圆锥体得到的。在费马和笛卡儿搭建的这个新舞台上，经典曲线像幽灵一样从迷雾中再次现身。