费马和笛卡儿发现的代数和几何学之间的新联系，对这两个学科来说都大有裨益，可以相互弥补对方的不足之处。几何学诉诸人的右脑，它直观而具象，命题的真实性往往一目了然。但它也需要某种创造力，因为人们常常不知道几何证明该从哪里入手，这时候就要依靠“神来一笔”的帮助了。
然而，代数是系统性的，我们可以近乎随心所欲地“揉捏”方程：在方程两边添加相同的项，消去共同的项，求出未知量，或者按照标准方法去执行多个其他步骤和算法。代数过程具有抚慰人心的重复性，就像织毛衣一样令人愉悦。但代数也饱受空虚之苦，它的符号是空洞的，在被赋予意义之前它们什么也不是。代数中没有任何形象化的东西，它是左脑型和机械式的。
不过，如果代数和几何学联合起来，它们将势不可当。代数给了几何学一个体系，此时几何学需要的就不再是创造力，而是韧性了。它会把需要洞察力的难题转化为虽然耗时费力但却简单直接的计算，符号的使用解放了头脑，也节省了时间和精力。
对几何学来说，它赋予代数以意义。此时方程不再枯燥乏味，而是化身为弯曲有致的几何形状。当从几何学的角度去看方程时，一个曲线和曲面的全新“大陆”就会呈现在我们眼前，无穷无尽的几何“动植物”等待着我们去发现、编目、分类和仔细研究。