行李箱的优化问题

行李箱的优化问题

费马微分学定理的雏形产生于他运用代数分析法解决优化问题[1]的过程中，优化问题研究的是如何以最佳方式做事情。根据具体情境，最佳可能意味着最快、最便宜、最大、最有利可图和最有效等。为了用最简单的方式阐明他的想法，费马设计了几个问题，它们听上去很像今天的数学老师给学生布置的练习题。所以，孩子们要怪就怪费马吧。

在根据我们的时代特点进行更新后，其中一个问题大致是：假设你想设计一个矩形的箱子来存放尽可能多的物品，但要满足两个约束条件。第一，这个箱子必须有一个正方形的横截面，宽x英寸[2]，深x英寸。第二，它必须能放进某家航空公司的机舱行李架。根据航空公司对随身携带行李的规定，箱子的宽度、深度和高度之和不能超过45英寸。那么，当x是多少英寸时，箱子的容积最大呢？

解决这个问题的一种方法是运用常识。尝试几种可能性，比如，宽度和深度各为10英寸，那么高度可以是25英寸，因为10+10+25=45，这种尺寸的箱子的容积为10×10×25=2 500立方英寸[3]。立方体形状的箱子容积会不会更大呢？由于立方体的高度、宽度和深度必须相等，因此它的尺寸为15×15×15，容积是3 375立方英寸。在尝试了其他几种可能性之后，我们会发现立方体似乎是箱子形状的最佳选择。而且，事实的确如此。

所以，这本身并不是一个特别难解决的问题。我主要想用它来展示费马对于这类问题的推理方法，因为他的方法带来了更加了不起的成果。

和解决大多数代数问题一样，我们先要把所有给定的信息转化成符号。由于箱子的宽度和深度都是x，加起来就是2x。而且，箱子的高度、宽度和深度之和不能超过45英寸，所以它的高度是45–2x。那么，箱子的容积是x×x×(45–2x)=45x2–2x3，我们将其表示成V(x)：

V(x)=45x2–2x3

如果我们以x为横轴、V(x)为纵轴，用计算机或绘图计算器画出图像，就会看到这条曲线先上升，并像预期的那样在x=15英寸时达到最大值，然后下降直至0（图4–3）。

我们也可以用学生们现在熟悉的微分学方法找出最大值，即求V(x)的导数并使其等于0。这种方法的思路是：曲线顶端的斜率为0，它在这里既不上升也不下降；由于斜率是用导数来衡量的，所以最大值处的导数必定为0。经过代数运算和对各种导数规则的运用，这个推理过程也会得出x=15的答案。

但是，费马没有绘图计算器或计算机，也没有导数的概念。那么，他是如何解决这个问题的呢？他利用了最大值的一个特性，即低于最大值的水平线都和曲线相交于两个点，如图4–4所示。

而高于最大值的水平线与曲线没有交点，如图4–5所示。

这揭示了一种直观的解题策略。假设我们缓慢地抬升一条低于最大值的水平线，随着这条线逐渐上移，它的两个交点就像项链上的珠子一样沿着曲线向对方滑动（图4–6）。

在最大值处，这两个点发生碰撞。寻找碰撞点就是费马确定最大值的方法，换言之，他需要推导出两点合并为一点（形成“重交点”）的条件。有了正确的思路，余下的就是代数运算（符号处理）了。具体过程如下：

假设两个交点处的x分别为a和b，它们位于同一条水平线上，所以V(a)=V(b)，即

45a2–2a3=45b2–2b3

为了做进一步运算，我们需要重新整理一下这个方程。如果我们把平方项放在一边，而把立方项放在另一边，可得：

45a2–45b2=2a3–2b3

运用高中代数的一些技巧，我们可以在方程两边进行因式分解，可得：

45(a–b)(a+b)=2(a–b)(a2+ab+b2)

然后，方程两边同时除以公因子(a–b)，这是合乎规则的，因为a和b并不相等。[如果它们相等，方程两边同时除以(a–b)就相当于同时除以0，这是绝对不允许的。]消去(a–b)后得到的方程为：

45(a+b)=2(a2+ab+b2)

现在，请注意一个难以理解的逻辑点。费马先是假设a和b不相等，但他又假设当a和b在最大值处合并且相等时，他之前推导出的方程仍然成立。为了证明这样做是可行的，费马引入了一个被他称为“准等式”[4]的模糊概念。它是指在最大值处，a和b在某种程度上相等，但并不是真正相等（今天，我们用极限或者重交点的概念来表述它）。总之，他令a≈b，并大胆地用a替换上述方程中的b得到：

45(2a)=2(a2+a2+a2)

上式进一步化简为90a=6a2，它的解是a=0和a=15。第一个解a=0对应的是容积最小的箱子，它的宽度和深度都为0，体积也为0，我们对此毫无兴趣。第二个解a=15对应的是容积最大的箱子，它就是我们一直期待的答案，即15英寸是箱子的最佳宽度和深度。

从我们的角度看，费马的推理过程似乎有些奇怪，他不用导数就找到了最大值。今天，老师在讲优化问题之前会先教学生如何求导数，而费马的做法则完全相反。但这无关紧要，因为他和我们的想法是一样的。