寻找失传已久的发现方法——分析

寻找失传已久的发现方法——分析

笛卡儿和费马之间的竞争发生在17世纪初，那时的数学家都梦想着找到一种几何学的分析方法[1]。这里所说的分析，指的是发现结果而不是证明结果的方法。当时人们普遍怀疑古人已经拥有了这样的发现方法，但却故意将它藏匿起来。比如，笛卡儿就曾断言古希腊人“掌握了一种数学知识，它与我们这个时代通用的数学知识截然不同……但我的看法是，那时的卑鄙和令人愤慨[2]的作者隐瞒了这种知识”。

符号代数似乎就是这种失传已久的发现方法。但在较为守旧的地方，代数遭到了保守派的怀疑。当艾萨克·牛顿说“代数是数学笨蛋的分析方法”[3]时，他其实是在不加掩饰地侮辱笛卡儿，因为笛卡儿是一个典型的依赖代数并通过逆向推理来解决问题的“笨蛋”。

在发动对代数的攻击时，牛顿坚持主张分析法与综合法之间的传统区别。在分析法中，人们从结尾入手解决问题，就好像已经得到了答案一样，然后满怀期望地朝着开头倒推，希望找到一条通往给定假设的路径。这就是学生们眼中的从答案开始倒推，然后搞清楚如何得出这个答案的方法。

而综合法的方向正相反，即从给定的条件着手，然后通过在黑暗中摸索和尝试，按部就班地找到解决方案，最终得出期望的结果。综合法往往比分析法难得多，因为在你找到解决方案之前，你根本不知道该怎么做。

古希腊人认为，综合法比分析法更具逻辑力和说服力。综合法被视为证明结果的唯一有效方法，而分析法是发现结果的可行方法。如果你想要严谨的论证过程，就必须使用综合法。这也是阿基米德用在跷跷板上使形状达到平衡状态的分析法发现定理，但随后又改用综合的穷竭法来证明定理的原因。

尽管牛顿对代数分析法嗤之以鼻，但我们将在第7章看到他本人也使用了这种方法，并且取得了巨大的成果。不过，牛顿并不是运用代数分析法的第一人，费马才是。费马的思维方式很有趣，因为它不仅简洁易懂，而且独特新奇。今天，他的曲线研究方法已经退出历史舞台，并被教科书中更复杂巧妙的技巧所取代。