关于切线的争论

关于切线的争论

费马的优化方法也使他明白了曲线的切线是怎么一回事，这是真正让笛卡儿火冒三丈的问题。

切线的英文单词“tangent”源于“touching”（触碰）的拉丁词根，这个术语用得很恰当，因为切线并不是从曲线中间穿过并与曲线交于两个点，而是在一个点上与曲线发生触碰，仅算得上擦肩而过（图4–15）。

确定切线的条件类似于求最大值或最小值的条件。如果我们让一条曲线与一条直线相交，然后不断地向上或向下滑动直线，当两个交点合而为一时，直线与曲线就相切了。

到17世纪20年代末的某个时候，费马已经找到了几乎所有代数曲线（只能用x和y的整数次幂来表示，而不含任何对数、正弦函数或其他超越函数的曲线）的切线。借助伟大的重交点概念，费马能用他的方法找出我们用求导法找到的所有切线。

笛卡儿有他自己的寻找切线的方法[1]。在1637年出版的《几何学》中，他自豪地向世人公布了他的方法。在不知道费马已经解决了这个问题的情况下，尽管笛卡儿也独立地想出了重交点的概念，但他用的是圆而不是直线去横穿曲线（图4–16）。在切点附近，一个标准的圆要么与曲线有两个交点，要么一个交点也没有。

通过调整圆的位置和半径，笛卡儿可以使两个交点合而为一。在那个重交点的位置上，圆与曲线恰好相切（图4–17）！

这样一来，笛卡儿就得到了找出曲线切线所需的一切条件，他也找到了曲线的法线，它位于圆的半径方向上，与切线成直角。

笛卡儿的方法虽然正确却很笨拙，它涉及的代数运算量远超费马的方法。但是，笛卡儿尚未听说过费马，所以他以一贯的傲慢姿态自认为超越了所有人。他在《几何学》中得意扬扬地说：“关于如何在曲线上的任意一点处画出与其成直角的直线，我给出了一般性方法。[2]而且，我敢说这不仅是我所知道的几何学中最有用和最普遍的问题，也是我一直以来渴望了解的问题。”

1637年年末，当笛卡儿从巴黎的通信者那里得知，费马早在大约10年前就解决了切线问题但却一直未公之于众时，他感到很沮丧。1638年，他研究了费马的方法，试图寻找其中的漏洞。简直太多了！他通过一个中间人写信说：“我甚至不想提他的名字，[3]这样他就不会因为我发现的错误而感到十分羞耻。”笛卡儿对费马的逻辑提出了质疑，公平地说，费马的逻辑比较粗略，解释得也不详细。但最终，经过几次信件往来，费马从容地阐明了他的观点，笛卡儿也不得不承认费马的推理是有理有据的。

但在承认自己的失败之前，笛卡儿仍试图为难费马，要求他找出三次方程x3+y3=3axy的曲线切线，其中a是一个常数。笛卡儿知道用他自己的那种笨拙的方法无法找到这条切线（代数运算会变得无法处理），所以他相信费马也找不到。不过，费马是一个水平更高的数学家，方法也更好，他不费吹灰之力就画出了那条切线，令笛卡儿懊恼不已。