我们的故事已经来到了十字路口。微积分将从这里开始变得现代化，并且从研究曲线之谜进展到研究运动和变化之谜。微积分也将从这里开始探索宇宙的节律，包括它的涨落起伏和不可言喻的时间模式。微积分不再满足于静态的几何世界，而是痴迷于动态变化。它想解决的问题是：运动和变化的规则是什么？我们能对未来做出哪些确定性预测呢？
从微积分到达十字路口的4个世纪以来，它已经从代数和几何学扩展到物理学、天文学、生物学、医学、工程学、技术学，以及其他所有不断变化的领域。而且，微积分将时间数学化了。尽管我们的世界存在着种种不公、苦难和混乱，但微积分给了我们这样的希望：世界本质上可能是公平合理的，因为它遵循的是数学定律。有时我们可以通过科学找到这些定律，有时我们可以通过微积分理解它们，有时我们可以利用它们改善生活，匡扶社会，以及推动历史进程朝好的方向发展。
微积分故事中的关键时刻出现在17世纪中叶，曲线之谜、运动之谜和变化之谜在二维网格——费马和笛卡儿的xy平面——上发生了碰撞。而那时，费马和笛卡儿并不知道他们创造出的这个工具有多么强大。他们的初衷是把xy平面用作纯粹数学的工具。然而从一开始，它就堪称一个十字路口，因为方程与曲线、代数与几何学、东方数学与西方数学都是在这里相遇的。到了下一代，牛顿在费马、笛卡儿、伽利略和开普勒的研究成果的基础之上，将几何学与物理学结合起来，构建了一个伟大的综合体。牛顿的思想火花点燃了启蒙运动之火，引发了西方的科学和数学革命。
但要讲述这个故事，我们必须从它发生的舞台，也就是xy平面说起。今天的学生从上第一节微积分课开始，将要在这个平面上花整整一年的时间。这门课的专业名称是一元函数微积分，接下来我们会用几个章节的篇幅去讨论它。在这里，我们先说说函数。
从曲线之谜与运动之谜、变化之谜发生碰撞的几个世纪以来，作为枢纽的xy平面变得越来越重要。今天，所有的定量领域都用它来绘制数据图表和揭示隐藏的关系。通过它，我们可以直观地看出一个变量如何取决于另一个变量，也就是说，当其他条件保持不变时，x和y的关系如何。这种关系可以用一元函数来建模，并用符号表示为y=f(x)。在这里，f是一个描述变量y（因变量）如何随变量x（自变量）变化的函数，它的前提是其他所有条件都确定不变。这类函数模拟了世界在最有序状态下的行为，一个原因会产生一个可预测的结果，一剂药会激发一种可预测的反应。更正式地讲，函数f是为每个x指定唯一的y时需要遵循的规则。它就像一台输入–输出机器：输入x，输出y，整个过程既可靠又可以预测。
伽利略知道这种有意简化现实的方法的力量，而且比费马和笛卡儿早了几十年。在实验中，他每次都小心翼翼地只改变一个条件，而让其他所有条件保持不变。他让一个球滚下斜坡，然后测量它在一定时间内滚动的距离。这样一来，距离就是时间的函数，非常简单。同样地，开普勒研究了行星绕太阳公转的时间，并将这个周期与行星到太阳的平均距离联系起来；一个变量比另一个变量，即周期比距离。这就是取得进步的方法，也是阅读大自然这部伟大著作的方法。
我们在前文中举过函数的例子。在肉桂葡萄干面包的例子中，x是吃掉的面包数量，y是摄入的热量，它们之间的关系式为y=200x，在xy平面上形成的图像是一条直线。在2018年纽约市昼长如何随季节变化的例子中，变量x表示一年中的某一天，y表示当天的白昼分钟数，也就是从日出到日落的时长。我们发现，由于夏季的昼长最长而冬季的昼长最短，所以这个例子中的图像会像正弦波一样振动。