通过微分推导出基本定理

通过微分推导出基本定理

莱布尼茨微分学的另一项成就在于，它让基本定理变得一目了然。回想一下，基本定理与面积累积函数A(x)有关，这个函数给出了曲线y=f(x)下方从0到x区间内的面积。基本定理认为，当我们向右滑动x时，曲线下方的面积会以f(x)的速率增大。因此，f(x)是A(x)的导数（图8–2）。

为了弄清楚这个结果从何而来，假设我们给x增加一个无穷小量使它变为x+dx，那么面积A(x)会改变多少呢？根据定义，它的变化量应该是dA。因此，新的面积等于原来的面积加上面积的变化量，即A+dA。

一旦我们直观地展示出dA，基本定理就会立刻不证自明。如图8–3所示，无穷小的面积变化量dA是x和x+dx之间的无限细长的竖条面积。这个竖条是一个高为y、底为dx的矩形，所以它的面积等于高乘以底，即ydx，如果你喜欢，也可以写成f(x)dx。

实际上，只有在放大无穷倍的情况下，这个竖条才会是一个矩形。在现实中，对宽度为任意有限值Δx的竖条来说，面积的变化量ΔA由两个部分组成。占主导地位的部分是一个面积为yΔx的矩形，还有一个小得多的部分是矩形上方的类似三角形的微小的曲边“帽子”（图8–4）。

这是另一个体现无穷小的世界比现实世界更美好的例子。在现实世界中，我们必须考虑这个“帽子”的面积，但它估算起来并不容易，因为它取决于“帽子”顶部曲线的具体情况。但当矩形的宽度趋于0并且“变成”dx时，相较于矩形的面积，“帽子”的面积就可以忽略不计。因为前者是小的部分，而后者是超小的部分。

所以，结果是：dA=ydx=f(x)dx。嘭！这就是微积分基本定理。或者，我们也可以把它写成今天更受欢迎的形式（在这个被误导的时代，微分已经被导数取代了）：

这正是我们在第7章利用油漆滚筒证明的结论。

还有最后一件事，当曲线下方的面积被视为无穷多个无穷小的矩形条的面积之和时，我们就可以把它写成：

其中，那个像天鹅颈一样的符号实际上是一个拉伸的“S”，它提醒我们正在进行的是求和运算。它是积分学特有的一种求和运算，通过求无穷多个无穷小的矩形条面积之和，把它们整合成单一的连贯区域。这个表示整合的符号被称为积分号，莱布尼茨在1677年的一篇手稿中引入该符号，并在1686年进行了公开发表。积分号是微积分中最容易辨识的标志，它底部的0和顶部的x表示矩形在x轴上所处区间的端点，这些端点被称作积分限。