第9章 宇宙的逻辑

第9章 宇宙的逻辑

微积分在17世纪下半叶经历了一场蜕变，变得如此系统、深刻和强大，以至于许多历史学家都说微积分是在那时候“发明”的。根据这个观点，在牛顿和莱布尼茨之前的是“原始微积分”，在他们之后的才是微积分。我本人并不这样认为，对我而言，自阿基米德利用无穷开始，就一直是微积分。

不管叫它什么，微积分在1664-1676年发生了颠覆性变化，也在这个过程中改变了世界。在科学领域，它促使人类开始阅读伽利略梦寐以求的自然之书。在技术领域，它发动了工业革命，并开启了信息时代。在哲学和政治领域，它在现代的人权、社会和法律概念上留下了印记。

我不会说微积分是在17世纪后期被发明的，而会把那个时期的变化描述为一种进化上的突破，类似于生物进化过程中的某个关键事件。在生命进化的早期阶段，生物都比较简单。它们是单细胞生物，类似于今天的细菌。那个单细胞生物时代持续了大约35亿年，占据地球历史的绝大部分。但在大约5亿年前，多样性惊人的多细胞生物突然出现，生物学家称之为寒武纪大爆发。在仅仅几千万年的时间（进化历程的一瞬间）里，很多主要的动物门类突然涌现出来。同样，微积分是数学领域的“寒武纪大爆发”[1]。它一旦到来，数学领域的惊人多样性就开始“进化”产生。它们的“谱系”可以从以微积分为基础的名称中识别出来，比如微分几何、积分方程和解析数论。这些高级的数学分支就像多细胞生物的众多分支和物种一样，在这个类比中，数学领域的“微生物”指的是最早的课题：数字、形状和字问题（word problem）。和单细胞生物一样，它们也占据着数学历史的绝大部分。但在350年前微积分的“寒武纪大爆发”之后，新的数学“生命形式”开始繁荣兴盛，并且改变了它们周围的“景观”。

在很大程度上，生命的进化是一个在前体的基础上朝着更高级和更复杂的方向前进的故事，微积分也是这样。但是，这个故事的方向是什么？微积分的进化有方向吗？或者，就像有些人对生物进化的描述那样，它也是无方向和随机的吗？

在纯粹数学领域，微积分的进化是一个关于“杂交”和获益的故事。数学中较为古老的部分在与微积分“杂交”后变得活跃，比如，在引入以微积分为基础的工具（积分、无穷级数和、幂级数等）后，关于数字及其模式的古老研究重新焕发出活力，由此产生的混合领域被称为解析数论。同样，微分几何利用微积分阐明了平滑表面的结构，并揭示出它们拥有“近亲”的事实（尽管它们对此一无所知），也就是那些存在于四维及更高维空间里的难以想象的曲线形状。就这样，微积分的“寒武纪大爆发”使数学变得更抽象和更强大，也让它变得更像一个家族。微积分揭开了将数学的各个部分联系在一起的隐藏关系网。

在应用数学领域，微积分的进化是一个关于我们对变化的理解不断扩展的故事。我们已经看到，微积分始于对曲线（方向的变化）的研究，继而是对运动（位置的变化）的研究。在“寒武纪大爆发”特别是微分方程兴起之后，微积分更广泛地应用于对变化的研究。如今，微分方程可以帮助我们预测流行病将如何传播，飓风将在哪里登陆，以及购买股票期权需要付多少钱。在人类努力探索的每个领域，微分方程已经成为描述我们周围和内部事物（从亚原子域到宇宙最远端）如何变化的通用框架了。