二体问题

二体问题

哈雷向牛顿提出的问题难度极大，需要将局部信息转化为整体信息，这正是我们在第7章讨论过的积分学与预测的核心难点。

想一想，在预测两个天体之间的引力相互作用时会涉及什么。为了简化这个问题，我们假设其中的一个——太阳——质量无穷大且静止不动，而另一个——轨道上的行星——绕太阳运动。最初，行星与太阳之间有一定的距离，它位于一个给定的位置上，并以给定的速度沿着给定的方向运动。在下一个瞬间，行星的速度把它带到下一个位置上，这里与它前一刻所在的位置之间只有无穷小的距离。由于行星现在的位置略有不同，所以它感受到的来自太阳的引力在方向和量值上也略有不同。这个新的力（可利用平方反比定律算出）又会拉动行星，使它的运行速度和方向在下一个无穷小的时间增量里发生无穷小的改变（可利用F=ma算出）。以此类推，这个过程将无休止地持续下去。最终，所有这些无穷小的局部步骤都必须以某种方式整合在一起，共同构成这颗行星的整体运行轨道。

因此，用积分的方法求解二体问题就是一次利用无穷原则的练习。阿基米德和其他人把无穷原则应用于曲线之谜，而牛顿是第一个将它应用于运动之谜的人。尽管二体问题看似解决无望，但牛顿在微积分基本定理的帮助下搞定了它。他并没有在头脑中逐一推算行星在每个瞬间的位置，而是像施展魔法一般用微积分推动它快速跃进。牛顿的公式可以预测出行星在未来任意时刻的位置和运动速度。

无穷原则和微积分基本定理在牛顿的研究中还发挥了另一种新颖的作用。在第一次向二体问题发起“攻击”的时候，他把行星和太阳都理想化为点状粒子。他能否按照真实的情况将它们建模为巨大的球体，同时解决二体问题呢？如果他能做到，他的计算结果会有所改变吗？

这是当时微积分发展过程中遇到的另一类异常困难的计算。想想看，要计算太阳（一个巨大的球体）对地球（虽然比太阳小但仍然是一个巨大的球体）的净拉力，需要考虑什么因素。太阳的每个原子都牵拉着地球的每个原子，难点在于，所有这些原子彼此间的距离不同。太阳背面的原子比正面的原子距离地球更远，因此前者对地球原子施加的引力更弱。此外，太阳左右两侧的原子分别朝着相反的方向拉动地球，其引力的强度取决于它们各自与地球之间的距离。所有这些影响因素都必须考虑在内。就这个问题而言，把各个部分重新整合在一起的难度比所有人做过的积分计算都大。如今在解决该问题时，我们运用的是一种比较复杂的方法——三重积分。

牛顿设法解决了这个问题，并且发现了十分优美、简洁以至于到了今天仍令人难以置信的方法：假设球形太阳的所有质量都集中在它的中心，地球也是一样。他的计算结果表明，无论采用哪种方法，地球的轨道都是一样的。换句话说，他可以在不产生任何误差的情况下，用无穷小的点来代替巨大的球体。谎言居然揭露了真相！

不过，牛顿的计算中还有许多其他的近似处理，它们的影响更严重，带来的问题也更多。为简单起见，他完全忽略了其他所有行星施加的引力。此外，他继续假设引力作用是即时的。尽管他知道这两种近似处理不可能做到准确无误，但不这样做的话他就无法取得进展。牛顿还坦承他无法解释引力到底是什么，或者它为什么会遵循他给出的数学描述，他知道批评者会因此质疑他的整个研究。为了使自己的研究结果尽可能地令人信服，牛顿用可靠的几何语言（当时被视为严谨性和确定性的黄金标准）来表述它们。但这种几何语言不是传统的欧几里得几何，而是古典几何和微积分的一种奇特的结合体——披着几何学外衣的微积分。

无论如何，牛顿还是尽最大努力给了它一个古典的外表。《原理》是老式的欧几里得风格。他循着古典几何的格式，从公理和假设（他的运动和引力定律）出发，并把它们当作毋庸置疑的基石。在公理和假设的基础之上，他通过逻辑推理构建起一个包含引理、命题、定理和证明的体系，它们犹如一根可回溯至公理的完整链条环环相扣。就像欧几里得给世人留下了不朽的13卷本著作《几何原本》一样，牛顿给世人留下了他的三卷本著作《原理》，而且没有故作谦虚地把第三卷命名为《论宇宙的体系》。

他的体系将自然描述为一种机制。在之后的几年里，它常被比作钟表装置：它的齿轮在旋转，它的弹簧在伸缩，它的所有部件都在有序运转，创造出一个因果关系的奇迹。牛顿利用微积分基本定理，并借助幂级数、创造力和运气，往往能准确地解出他的微分方程。就像在解决行星围绕太阳旋转的二体问题时所做的那样，他并未逐一计算每个瞬间的数据，而是快速跃进，明确预测出他的钟表装置在无限远的未来所处的状态。

在牛顿之后的几个世纪里，许多数学家、物理学家和天文学家都对他的体系进行了改进。该体系的可信程度非常高，以至于当某颗行星的运动与它的预测不一致时，天文学家便会认为他们遗漏了什么重要的东西。海王星[1]就是这样在1846年被发现的。天王星的不规则轨道表明，在它之外存在着一颗未知行星，那个看不见的“邻居”正在通过引力扰动天王星。微积分预测出这颗缺失行星的位置，当天文学家进行观测时，它的的确确就在那里。