振动模态的可视化：克拉德尼图形

振动模态的可视化：克拉德尼图形

无论是吉他温暖的声音还是小提琴忧伤的声音，都与乐器的面板和主体的振动有关，声波会在这些部位的木材及空腔中产生振动和共鸣。这些振动模式决定了乐器的品质和声音。斯特拉迪瓦里小提琴之所以如此特别，原因之一就在于它们的木材和空气的振动模式独一无二，并且能引发听众的情感共鸣。某些小提琴的声音听起来比其他小提琴要好，尽管我们尚未完全弄明白其中的原因，但答案一定也与它们的振动模式有关。

1787年，德国物理学家和乐器制造商恩斯特·克拉德尼发表了一篇文章，展示了一种能让这些振动模式可视化的巧妙方法。不过，他没有使用像吉他或小提琴那样复杂形状的乐器，而是选择了一种简单得多的乐器——一块薄金属板，通过拉动小提琴弓摩擦金属板的边缘来演奏。这样一来，他就可以让金属板振动并发声（这类似于你用手指摩擦一个半满酒杯的边缘让它发声）。为了让振动可视化，演奏前克拉德尼在金属板上撒了一层薄沙。当他在金属板边缘拉动琴弓时，沙子会从振动最强烈的地方弹开，并落在完全不振动的地方，由此得到的曲线现在被称为克拉德尼图形[1]（图10–6）。

你可能在科学博物馆里见过关于克拉德尼图形形成过程的动态演示。一块表面覆盖着沙子的金属板被放置在扬声器之上，然后在电子信号发生器的驱动下产生振动。随着你对扬声器的声音频率做出调整，金属板会被激发出不同的共振模式。每当扬声器被调至一个新的共振频率，沙子就会重新排列成一种不同的驻波图样。金属板将自身划分成振动方向相反的相邻区域，分界线是金属板上保持不动的节点曲线。

金属板的某些部分没有发生振动，这种现象看似很奇怪，但它其实没什么可惊讶的，我们在弦的正弦波中也可以看到这种现象。弦上不动的那些点就是振动的节点，金属板上也有类似的节点，只不过它们不是孤立的点。相反，它们会连接在一起形成节点线和节点曲线，克拉德尼的实验中呈现出来的正是这些曲线。当时人们都觉得难以置信，以至于克拉德尼被叫去当着拿破仑皇帝本人的面展示这些曲线。接受过些许数学和工程学教育的拿破仑对此非常感兴趣，他发起了一场竞赛，鼓励欧洲那些伟大的数学家去尝试解释克拉德尼图形的原理。

当时解决这个问题所必需的数学知识还不存在，欧洲的杰出数学家约瑟夫–路易斯·拉格朗日觉得它是一个“超纲问题”，没人能解决它。事实上，只有一个人尝试过，她就是索菲·热尔曼[2]。