庞加莱方法最严重的局限性与无法想象三维以上空间的人类大脑有关。自然选择使我们的神经系统能够感知普通空间的三个方向，即上下、前后和左右。但不管怎么努力，我们都无法想象出第四个维度，或者说无法在脑海中“看见”它。然而，有了抽象符号，我们就可以尝试处理任意数量的维度。费马和笛卡儿向我们展示了相关做法，他们的xy平面使我们了解到数字可以依附于维度。左右对应于数字x，上下对应于数字y；通过涵盖更多的数字，我们还可以涵盖更多的维度。对三维空间来说，x、y和z就足够了。为什么不能有四维或者五维空间呢？还剩下很多字母呢。
你可能听说过，时间是第四个维度。的确，在爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论中，空间和时间被融合成单一的实体——时空，并被表示成一个四维的数学领域。粗略地说，普通空间被绘制在前三个轴上，时间被绘制在第四个轴上。这种结构可被看作对费马和笛卡儿的二维xy平面的拓展。
然而，我们在这里要讨论的不是时空。庞加莱方法的固有局限性涉及一个更加抽象的领域，它是对我们在研究钟摆的矢量场时遇到的抽象状态空间的拓展。在那个例子中，我们构建了一个抽象空间，其中的一个轴代表钟摆的角度，另一个轴代表钟摆的速度。在每个时刻，钟摆的角度和速度都有特定的值。因此，在那个时刻，它们对应于角–速度平面上的一个点。这个平面上的箭头（看似舞蹈指令的那些箭头）就像钟摆的牛顿微分方程那样，决定了每时每刻的状态变化情况。循着箭头，我们就可以预测出钟摆将如何移动。钟摆有可能来回摆动，也有可能转过最高点，这取决于它的起点位置。所有信息都包含在这幅矢量场图中。
重要的是，我们要意识到，钟摆的状态空间之所以是二维的，是因为它的角度和速度对预测它的未来状态而言是充要条件。这两个变量给了我们预测钟摆下一刻、再下一刻直到未来的角度与速度所需的全部信息，从这个意义上说，钟摆是一个天生的二维系统，它有一个二维状态空间。
当我们考虑比钟摆更复杂的系统时，高维诅咒就会出现。比如，我们来看看让牛顿头疼的三体问题。它的状态空间有18个维度，为了弄清楚原因，我们把注意力集中在其中一个引力体上。在任何时刻，该引力体都位于普通三维物理空间中的某个地方。因此，它的位置可以由3个数字x、y、z指定。它也可以沿这3个方向中的任意一个移动，从而对应于3个速度。简言之，一个引力体需要具备6条信息：表示它所在位置的3个坐标，以及它在3个方向上的速度。这6个数字指定了它的位置和运动方式，让它们分别和这个问题中的3个引力体相乘，就可以得到状态空间中的6×3=18个维度。因此，在庞加莱的方法中，系统（由3个引力体组成）的不断变化的状态，可以用一个在18维空间中四处移动的抽象点来表示。随着时间的推移，这个抽象点会描绘出一条轨迹——类似于真正的彗星或者炮弹的运动轨迹——只不过这条抽象的轨迹存在于庞加莱的幻想世界（三体问题的18维状态空间）中。
当我们将非线性动力学应用于生物学领域时，常常发现有必要想象更高维度的空间。比如，在神经科学中，我们需要追踪霍奇金和赫胥黎的神经膜方程涉及的所有钠、钾、钙、氯和其他离子浓度的变化。这些方程的现代版本可能涉及数百个变量，它们代表了神经细胞中离子浓度的变化、膜电位的变化，以及细胞膜传导各种离子并允许它们进出细胞能力的变化。在这种情况下，抽象状态空间有数百个维度，每个维度都对应一个变量：第一个对应钾离子浓度，第二个对应钠离子浓度，第三个对应膜电位，第四个对应钠电导，第五个对应钾电导，等等。在任何时刻，所有这些变量都会取一定的值。霍奇金–赫胥黎方程（及其推广形式）向这些变量发出了舞蹈指令，告诉它们如何沿轨迹运动。这样一来，利用计算机描绘状态空间中的轨迹，就可以预测出神经细胞、脑细胞和心脏细胞的动态，其准确度有时甚至会高得惊人。人们正在利用这种方法取得的成果进行神经病理学和心律失常方面的研究，旨在设计出更好的除颤器。
如今，数学家常常思考任意维数的抽象空间，即n维空间，而且我们已经开发出任意维数的几何学和微积分。正如我们在第10章看到的那样，CT扫描背后理论的发明者阿兰·科马克纯粹是出于好奇心，他想知道CT在四维空间中会如何运行。伟大的成果往往来自这种纯粹的冒险精神。当爱因斯坦需要适用于广义相对论的弯曲时空的四维几何时，他欣喜地得知它已然存在。这要归功于波恩哈德·黎曼，他在几十年前出于最纯粹的数学原因创建了四维几何。
因此，追随自己对数学的好奇心，可以给我们带来无法预见的科学回报和实际回报。它本身也给数学家带来了极大的乐趣，并且揭示了不同数学分支之间的隐秘联系。出于这些原因，在过去200年里，对高维空间的探索一直是一个活跃的数学分支。
然而，尽管我们有一个可在高维空间中做数学运算的抽象系统，但数学家仍然很难让这些空间可视化。事实上，更坦白地讲，我们无法让它们可视化。我们的大脑根本做不到，我们也不具备那样的能力。
这种认知局限性对庞加莱的计划造成了严重打击，至少在3个以上维度的空间中如此。他的非线性动力学研究方法依赖于视觉上的直观感受，如果我们无法想象在4维、18维或者100维空间中会发生什么，他的方法就不能为我们提供太多帮助。这已经成为复杂系统领域[1]进步的一大障碍，如果我们想搞清楚一个健康的活细胞中发生的数千种生化反应，或者解释它们如何出错进而引发癌症，就必须理解高维空间。如果我们想利用微分方程理解细胞生物学，就得用公式解开这些方程（索菲·柯瓦列夫斯卡娅证明我们做不到）或者想象出它们的样子（我们有限的大脑也做不到）。
因此，关于复杂的非线性系统的数学研究令人沮丧。不管是经济、社会和细胞的行为，还是免疫系统、基因、大脑和意识的运转，对任何想在我们时代的这些最棘手问题上取得进展的人来说，即使不是完全不可能，似乎也总是很困难。
一个更大的难题是，我们甚至不知道其中一些系统是否包含类似于开普勒和伽利略发现的那些模式。神经细胞显然有，但经济或者社会呢？在许多领域，人类的理解仍然处于前伽利略或者前开普勒阶段。我们尚未找到模式，那么我们如何才能找到洞见这些模式的更深层次的理论呢？生物学、心理学和经济学都不是牛顿式的，它们甚至也不是伽利略式和开普勒式的。所以，我们还有很长的路要走。
[1] complex systems: Mitchell, Complexity.