开普勒第一定律：椭圆轨道
在探索关于行星运动的科学性解释的过程中，开普勒最终尝试了一种著名的曲线——椭圆。就像伽利略的抛物线一样，椭圆在古代也被研究过。我们在第2章看到，古希腊人将椭圆定义为用倾斜的平面切割圆锥体所产生的曲线，而且平面的倾斜度要小于圆锥面本身的斜率。如果平面的倾斜度很小，得到的椭圆几乎就是圆形的。而如果平面的倾斜度只略小于圆锥面的斜率，得到的椭圆就会像雪茄烟的形状一样又长又细。如果你不断调整平面的倾斜度，椭圆就会从非常圆变得非常扁，或者介于两者之间。
另一种定义椭圆的方法在措辞上很务实，而且要借助几样日常生活用品。
如图3–6所示，拿一支铅笔、一块软木板、一张纸、两个图钉和一根绳子。把纸放在软木板上，用图钉把绳子的两端固定在纸上，一定要让绳子松弛一些。然后，用铅笔拉紧绳子画一条曲线，注意当你移动铅笔时要让绳子处于紧绷状态。在铅笔绕过两个图钉并回到起点后，得到的闭合曲线就是一个椭圆。
图3-6
在这里，图钉的位置起到了一种特殊的作用。开普勒把它们命名为椭圆的焦点，它们之于椭圆的意义就像圆心之于圆的意义。圆被定义为到一个定点（圆心）的距离等于定长的所有点组成的图形，同样地，椭圆是指到两个定点（焦点）的距离之和等于定长的所有点组成的图形。在绳子–图钉的结构中，这个恒定的距离之和恰好是两个图钉之间的绳子长度。
开普勒的第一个伟大发现是，所有行星都在椭圆轨道上运行，这一次他的看法确实是正确的，而且无须修正。亚里士多德、托勒密、哥白尼和伽利略认为，行星是在圆形轨道或者圆形与圆形本轮的混合轨道上运行的。他们的想法通通不对，行星的轨道是椭圆形的。此外，开普勒还发现，对每颗行星来说，太阳都位于其椭圆轨道的一个焦点上。
这个令人震惊的发现正是开普勒一直渴求的那种神圣的线索：行星是按照几何学原理运行的。虽然事实不像他最初猜想的那样与5种柏拉图立体有关，但他的直觉是正确的——几何学的确统治着天空。