开普勒第二定律：相等的时间，相等的面积

开普勒第二定律：相等的时间，相等的面积

开普勒从数据中发现了另一个定律。他的第一定律与行星的路径有关，而这个定律则与它们的速度有关。今天它被称为开普勒第二定律，说的是当行星沿轨道运行时，从这颗行星到太阳的假想连线在相等的时间内扫过的面积相等。

为了阐释这条定律的意思，假设我们能看到今晚火星在其椭圆轨道上的位置，并用一条直线把这一点与太阳连接起来（图3–7）。

现在，我们把这条线想象成一个类似于刮雨器的东西，太阳位于其枢轴点，火星则位于其顶端（只不过这个刮雨器不会像真正的刮雨器那样来回振动，它总是向前运动，而且速度非常缓慢）。当火星在接下来的几个晚上沿轨道前行时，刮雨器也随之移动，并在椭圆内部扫过一片区域。如果我们在一段时间（比如3个星期）再观察一次火星，就会发现缓慢移动的刮雨器已经扫出了一个扇形（图3–8）。

开普勒发现，无论火星在其绕日轨道的哪个位置上，矢径在3个星期内扫过的扇形面积总是相等。而且，3个星期这个时间段也没有什么特别之处。如果我们在火星轨道上任意取两个时间间隔相等的点，不管它们在轨道的什么位置上，矢径扫过的扇形面积总是相等（图3–9）。

简言之，第二定律说明，行星并不以恒定的速度运行。相反，离太阳越近，它们的运行速度就越快。“在相等的时间内矢径扫过的面积相等”的陈述，可以使这个结论更加精确。

考虑到椭圆轨道内的扇形有一条弯曲的边，开普勒究竟是用什么方法测量出它的面积的？他采用了阿基米德的方法：先把扇形切割成许多小碎片，并把它们近似成三角形；然后算出这些三角形的面积（这很简单，因为它们的所有边都是直的），最后把结果加在一起，估算出原来的扇形面积。实际上，他利用了阿基米德版本的积分学，并将其应用于真实数据。