开普勒第三定律：行星的公转周期

开普勒第三定律：行星的公转周期

到目前为止，我们讨论过的定律（每颗行星都在一个以太阳为焦点的椭圆轨道上运行，每颗行星在相等的时间内扫过的面积相等）都是关于个体行星的。开普勒在1609年发现了第一和第二定律，相比之下，他花了10年时间才发现关于所有行星的第三定律，从而把整个太阳系与单一的数字规律绑定在一起。

经过几个月高强度的重新计算，开普勒终于发现了这个定律，此时距离他提出柏拉图立体宇宙模型已经过去了20多年。他在1619年出版的《世界的和谐》的序言中欣然写道，他终于看到了上帝计划中的规律：“现在，从8个月前的黎明、3个月前的白昼和几天前开始，当充足的阳光照亮我奇妙的猜想时，已经没有什么能阻止我了。我心甘情愿地陷入这种神圣的狂热状态[1]。”

令开普勒欣喜若狂的数字规律是，他发现行星公转周期的平方与该行星到太阳的平均距离的立方成正比。也就是说，对所有行星而言，T2/a3的值都是相同的。在这里，T表示行星绕太阳一周的时间（地球是1年，火星是1.9年，木星是11.9年，等等），a表示该行星到太阳的距离。a的值不太好确定，因为随着行星在其椭圆轨道上运行，它到太阳的实际距离每周都在变化；有时它离太阳较近，有时则离太阳较远。考虑到这种影响，开普勒将a定义为行星到太阳的最近距离和最远距离的平均数。

第三定律的要点很简单：一颗行星距离太阳越远，它的运行速度就越慢，公转一周所需的时间也越长。但这个定律有趣而微妙的地方就在于，轨道周期并不是简单地与轨道距离成正比。比如，我们最近的邻居金星的轨道周期占一个地球年的61.5%，但它到太阳的平均距离占日地平均距离的72.3%（而不是61.5%）。这是因为周期的平方与距离的立方（而不是平方）成正比，所以周期与距离之间的关系比正比关系更复杂。

当我们用上述的地球年和日地距离的百分率来表示T和a时，开普勒第三定律就可以简化为T2=a3。它变成了一个方程，而不只是一个比例。为了验证它的有效性，不妨把金星的数据代入其中：T2=(0.615)2≈0.378，a3=(0.723)3≈0.378。所以，这个定律在保留三位有效数字的情况下仍然成立，这就是令开普勒兴奋不已的原因。当把它应用于其他行星时，得出的结果同样令人印象深刻。