在上文我们讨论过的例子中，右边一列中的数字（比如100和1 000）一直是约整数（round number）。既然10的次方这么方便，要是我们能用同样的方法表示非约整数的话就太好了。我们以90为例，考虑到90略小于100，而100等于102，那么90对应的以10为底的函数的指数应该略小于2。但这个数字到底是多少呢？
对数就是为了回答这类问题而被发明出来的。[1]在计算器上，如果你输入90，然后按下log键，就会得到：
log 90=1.954 2…
所以，答案是：101.954 2…=90。
有了对数，我们就能够将所有正数都写成10的次方的形式。这既可以让很多计算变得更简单，也揭示了数与数之间的惊人联系。看一看，如果我们先将90乘以10或100，再求对数，会怎么样。
log 900=2.954 2…
log 9 000=3.954 2…
在这里，有两个事实引人注目：
第一，所有对数的小数部分都相同，即0.954 2…；
第二，将原来的数字90乘以10，其对数增加1。将90乘以100，其对数增加2，以此类推。
我们可以用对数法则（积的对数等于对数的和）来解释这两个事实：
log 90=log (9×10)
=log9+log10
=0.954 2…+1
log 900=log(9×100)
=log9+log100
=0.954 2…+2
……
这解释了为什么90、900和9 000的对数都有相同的小数部分0.954 2…，它是9的对数，而9是我们刚刚讨论过的所有数的一个共同因数。10的不同次方则以对数中不同的整数部分出现，在这个例子中，就是小数部分前面的1、2或3。因此，如果我们对其他数的对数感兴趣，只要求出数字1~10的对数，即小数部分的值，那么其他所有正数的对数都可以用这些对数来表示。10的次方也有它们自己的任务，就是负责给出整数部分的值。
这个一般性规则可用符号表示为：
log(a×b)=log a+log b
换句话说，如果我们将两个数相乘，然后取积的对数，结果就等于它们各自对数的和（而不是积！）。在这个意义上，对数用简单得多的加法问题取代了乘法问题。这就是人们发明对数的原因，它们极大地加快了计算速度。这类计算可以把艰巨的乘法问题、平方根和立方根等转化为加法问题，然后在对数表的帮助下得出答案。对数的概念在17世纪早期就已经流行开来，这在很大程度上要归功于苏格兰数学家约翰·纳皮尔，他在1614年出版了《关于奇妙的对数法则的说明》一书。10年后，开普勒在编制关于行星和其他天体位置的天文表时，兴致勃勃地使用了这种新颖的计算工具，对数堪称他们那个时代的超级计算机。
很多人都觉得对数难以理解，但如果你用木工活儿进行类比，就会发现它们非常有意义。对数和其他函数好比工具，不同的工具有不同的用途。锤子是用来钉钉子的，钻子是用来钻孔的，锯子是用来切割的。同样地，指数函数可用于为越来越快的增长过程建模，而幂函数可用于为不太剧烈的增长方式建模。对数之所以有用，是因为它起到了跟起钉器一样的作用：撤销另一种工具的作用。具体来说，就是对数撤销了指数函数的作用，反之亦然。
比如，将x=3代入指数函数10x，结果是1 000。想要撤销这步操作，你可以按下log x键，再将x=1 000代入，就会返回到一开始的数字3。以10为底的对数函数log x撤销了指数函数10x的作用，从这个意义上说，它们是反函数。
除了起到反函数的作用之外，对数还描述了许多自然现象。比如，我们对音高的知觉就近似于对数函数。当音高逐次升高八度，即从一个do到下一个do时，相应地，关联声波的频率会逐次加倍。然而，尽管音高每升高一个八度，声波振动的速度就会加快一倍，但我们却把这种加倍效应（频率的乘性变化）听成了音高在等距升高（加性变化）。这太奇怪了。我们的大脑愚弄我们相信从1到2的距离和从2到4的距离一样，和从4到8的距离也一样，以此类推。由此可见，我们在用对数的方式感知频率。
[1] Logarithms were invented: Stewart, In Pursuit of the Unknown, chapter 2, and Katz, History of Mathematics, section 10.4.