有一个要点我必须重申一下，即e的特别之处就在于ex的变化率是ex。因此，随着这个指数函数的图像不断飙升，它的斜率总会与它当前的高度相匹配，越高的地方就越陡峭。用微积分术语可表述为，ex是它自身的导数。除ex之外，没有其他函数能做到这一点。因此，ex是所有函数中最美妙的，至少在微积分领域如此。
虽然底数e是独一无二的，但其他指数函数也遵循类似的增长原则。唯一的区别在于，指数增长率与函数的当前水平成正比，而不是严格地等于后者。不过，这种正比关系足以让我们联想到爆炸性的指数增长。
关于正比关系的解释应该是显而易见的。比如，对细菌增殖来说，越大的种群增殖越快，因为细菌越多，其中可以分裂并产生后代的细胞就越多。账户中以复利率增值的存款也是同样的道理，钱越多意味着利息越多，账户总金额的增长速度就越快。
这种效应也可以解释当接收到从它自己的扬声器里传出的声音时，麦克风为什么会发出啸叫声。扬声器包含一个能使声音变大的扩音器，实际上，它是将声音的音量乘以一个常数。如果这个放大的声音被麦克风接收到，并再次通过扩音器，它的音量将在一个正反馈回路中被反复放大。这会导致音量突然失控，以与当前音量成正比的速度增加，从而产生刺耳的啸叫声。
出于同样的原因，核链式反应也受到指数增长的支配。当一个铀原子分裂时，它会释放出中子，这些中子可能会撞击其他原子并导致它们分裂，从而释放出更多中子，以此类推。如果不加以控制，中子数量的指数增长就会引发核爆炸。
除了增长过程之外，衰减过程也可以用指数函数来描述。指数式衰减是指某个事物以与当前水平成正比的速度减少或者消耗。比如，在一个孤立的铀块中，不管一开始有多少个原子，总有半数原子会在相同的时间内发生放射性衰变。它们的衰变时间被称作半衰期，这个概念也适用于其他领域。在第8章，我们将会探讨当医生发现HIV感染者在使用了一种叫作蛋白酶抑制剂的神奇药物后，其血流中的病毒颗粒数量呈指数下降，而且半衰期只有两天时，他们对艾滋病又有了哪些新的认识。
从连锁反应的动态过程、麦克风的啸叫声到银行账户金额的积累，这些不同的例子让我们觉得，指数函数及其对数似乎与微积分中处理时间变化的那一部分密切相关。尽管指数增长和指数式衰减是微积分十字路口上靠现代一边的重要课题，但对数最早却出现在另一边，那时候微积分的研究重点还是曲线几何学。的确，早在人们研究双曲线y=1/x下方的面积时，自然对数就出现了。17世纪40年代，当人们发现双曲线下方的面积定义了一个像对数一样神秘的函数时，情况变得复杂起来。事实上，它就是对数。它遵循同样的结构性规则，并且像其他所有对数一样，能把乘法问题转变成加法问题，只不过它的底数是未知的。
关于曲线下方的面积，我们还有很多需要了解的地方。这是微积分面临的两大挑战之一，另一个挑战是，发明一种寻找曲线切线和斜率的更加系统性的方法。这两个问题的解决方案和它们之间的惊人联系，将很快带领微积分和整个世界果断地步入现代化。