21世纪，微积分常被视为关于变化的数学，它运用了两大概念来量化变化：导数和积分。本章的主题是为变化率建模的导数，第7章和第8章则会讨论为变化的累积量建模的积分。
导数可以回答“多快？”“多陡？”“多敏感？”之类的问题，这些都是关于某种形式的变化率问题。变化率等于因变量的变化量除以自变量的变化量，通常用符号Δy/Δx表示，意指y的变化量除以x的变化量。尽管有时人们也会使用其他字母，但结构都是相同的。比如，当自变量是时间时，为了更清楚一些，通常会把变化率写作Δy/Δt，其中t表示时间。
最常见的一个变化率是速度。当我们说一辆汽车每小时行驶100千米时，这个数就可被视为一个变化率，因为当描述汽车在已知时间（Δt=1小时）内行驶的距离（Δy=100千米）时，它把速度定义为Δy/Δt。
同样地，加速度也是一个变化率。它被定义为速度的变化率，通常写作Δv/Δt，其中v代表速度。美国汽车制造商雪佛兰声称，它的科迈罗SS车型可以在4秒钟内从0加速到60英里/小时，以此把加速度描述成一个变化率，即用速度的变化量（从0到60英里/小时）除以时间的变化量（4秒）。
斜坡的坡度是变化率的第三个例子，它被定义为斜坡的垂直高度Δy除以斜坡的水平距离Δx。越陡的斜坡坡度越大，美国法律规定无障碍轮椅坡道的坡度必须小于1/12，平地的坡度为0。
在已有的各种变化率中，xy平面上的曲线斜率是最重要也是最有用的一种，因为它可以代替其他所有变化率。根据x和y的具体所指，曲线的斜率可以表示速度、加速度、报酬率、汇率、投资的边际收益或其他类型的变化率。比如，当我们绘制x片肉桂葡萄干面包所含热量y的图表时，会得到一条斜率为200卡路里/片的直线。这个斜率（几何特征）可以告诉我们面包提供热量的速率（营养特征）。同样地，在反映车辆行驶距离与时间关系的图表上，斜率表示车辆的速度。因此，斜率是一种普遍存在的变化率。由于任何一元函数都可以表示成xy平面上的一条曲线，我们可以通过读取图像的斜率来找到函数的变化率。
问题是，在现实世界或数学领域中，变化率几乎不可能是恒定的。在这种情况下，定义变化率变得问题重重。微分学面临的第一个大问题，就是在变化率不断改变的情况下对其进行定义。速度表和GPS设备已经解决了这个问题，即使在汽车加速和减速的时候，它们也知道应该报告什么速度。这些装置是如何做到这一点的呢？它们做了哪些计算呢？在微积分的帮助下，我们可以找到这些问题的答案。
和速度一样，斜率也不必是恒定的。在圆、抛物线等曲线或者其他光滑的路径（只要不是一条笔直的线）上，有些地方的斜率必定会大一点儿，而有些地方的斜率会小一点儿。在现实世界中亦如此。山间小径既有凶险陡峭的路段，也有闲适平坦的路段。所以，问题依旧是：当斜率不断变化时，我们该如何定义它呢？
我们首先要意识到，必须扩展自己对变化率的理解。在涉及距离等于速度乘以时间的代数问题中，变化率总是恒定的。而在微积分中，情况并非如此。由于速度、斜率和其他变化率会随自变量x或t而变化，所以它们本身必须被视为函数。变化率不再只是数，而需要变成函数。
这就是导数概念的作用，它将变化率定义为一个函数。即使变化率是多变的，导数也会给出某个点或某个时刻的变化率。在本章中，我们将看到导数是如何定义的，它们意味着什么，以及它们为什么重要。
要想揭开大自然的秘密，导数在其中起着至关重要的作用，因为它们无处不在。在最深层次上，自然律是用导数表示的，宇宙似乎在我们之前就知道了变化率的概念。在更平常的层次上，只要我们想量化某个事物的变化与另一个事物的变化之间的关系，就会用到导数。提高一款应用程序的价格会在多大程度上影响消费者对它的需求？增加一种他汀类药物的剂量会在多大程度上提升其降低患者胆固醇水平的能力，或者增加其引发肝损伤等副作用的风险？无论研究的是哪种关系，我们都想知道：如果一个变量改变了，与它相关的变量会在多大程度上发生改变？后者会朝着哪个方向变化，上升还是下降？这些都是与导数有关的问题。火箭的加速度、人口的增长率、投资的边际收益和一碗汤的温度梯度等，皆为导数。
在微积分中，导数的符号是dy/dx。它应该会让你想起普通的变化率Δy/Δx，只不过我们现在要假设dy和dx这两个变化量无穷小。这种温和而缓慢的推进方式虽然是一个疯狂的新想法，但它不应该让人感到意外。根据无穷原则，在复杂问题上取得进展的方法是，先把问题切分成无穷小的碎块，然后分析这些碎块，最后把它们重新组合起来，找到答案。在微分学的背景下，dx和dy就是那些无穷小的碎块，而把它们重新组合起来则是积分学的工作。