线性函数及其恒定的变化率

线性函数及其恒定的变化率

日常生活中的许多情形都是用线性关系——一个变量与另一个变量成正比——来描述的，比如：

1.去年夏天，我的大女儿莉亚在商场的一间服装店找到了她人生中的第一份工作。她的薪水是10美元/小时，工作2小时后她可以赚到20美元。一般而言，工作t小时后她可以赚到y美元，即y=10t。

2.一辆汽车以60英里/小时的速度行驶在公路上。那么，1小时后它行驶了60英里，2小时后它行驶了120英里，t小时后它行驶了60t英里。这里的关系式是y=60t，其中y是汽车在t小时后行驶的英里数。

3.根据《美国残疾人法案》，无障碍轮椅坡道每12英寸的水平距离对应的垂直高度不得超过1英寸。对一个达到最大允许坡度的坡道来说，垂直高度与水平距离之间的关系式是y=x/12，其中y是垂直高度，x是水平距离（图6–2）。

在上述的每一种线性关系中，因变量相对于自变量的变化率都是恒定的。我女儿的报酬率是恒定的10美元/小时；汽车的速度是恒定的60英里/小时；无障碍轮椅坡道的坡度被定义为其垂直高度与水平距离之比，等于恒定的1/12。我喜欢吃的肉桂葡萄干面包也是这样，它提供热量的速率是恒定的200卡路里/片。

在微积分的专业术语中，变化率指两个变化量的商，也就是y的变化量除以x的变化量，写作Δy/Δx。如果我再吃掉两片面包，就又摄入了400卡路里的热量，对应的变化率是：

它可以化简为200卡路里/片。这没什么好惊讶的，但有趣的是，我们观察到这个变化率是恒定的。也就是说，不管我吃掉多少片面包，变化率都一样（图6–3）。

当变化率恒定时，我们很容易把它们简单地看成是一个数字，比如200卡路里/片、10美元/小时或者1/12的坡度。尽管目前这不会造成什么问题，但之后却会让我们陷入麻烦。在更复杂的情况下，变化率并不是恒定的。假设我们行走在一段高低起伏的路上，有些路段陡峭，而有些路段平坦。对这段路来说，坡度是位置的函数，但把坡度仅看作一个数字就大错特错了。同样地，当汽车加速或者行星绕太阳旋转时，它们的速度也在不断变化。在这种情况下，把速度看作时间的函数显得至关重要。所以，我们现在应该养成一种习惯：不再把变化率看作数字，而将其视为函数。

这种概念混淆之所以会发生，是因为对我们一直在思考的线性关系来说，变化率函数是恒定的。这就是为什么在线性关系中把变化率当作数字是没有坏处的，它们不会随着自变量的变化而改变。我的女儿不管工作多长时间，她的报酬率都是10美元/小时，无障碍轮椅坡道上任意一处的坡度也都是1/12。但是，千万别被这些变化率蒙蔽了，它们仍然是函数，只不过碰巧是常函数。常函数的图像是一条平行于坐标轴的直线，如图6–4所示，肉桂葡萄干面包的有效负载是恒定的，为200卡路里/片。

在下一节讨论非线性关系的时候，我们会看到它在xy平面上生成的图像是一条曲线而非直线。不管怎样，直线或曲线总能显示出很多关于变量之间关系的信息，它们就像照片或签名一样，是揭示图像形成原因的重要线索。

请注意函数与函数图像之间的区别。函数是一种无实体的规则，代入x，得到y，而且每个x分别对应一个y。从这个意义上说，函数是无形的。当你看一个函数的时候，是什么也看不到的。它是一个幽灵般的存在，是一种抽象的规则。比如，这种规则可能是“给我输入一个数字，我将输出一个10倍于它的数字”。相比之下，函数图像是一种可见的、有形的事物，是一个你能看见的形状。具体来说，我刚才描述的函数图像是由方程y=10x定义的一条直线，它经过原点且斜率为10。但是，这个函数本身并不是直线，而是产生直线的规则。为了展示这个函数，你需要代入一个x，让它得出一个y，然后对所有x重复这一操作并将结果绘制成图像。你在这样做的时候，函数本身依然是不可见的，你看到的只是它的图像。