非线性函数及其不断变化的变化率
如果一个函数是非线性的，它的变化率Δy/Δx就不是常数。用几何术语来说，这意味着函数图像是一条各点斜率均不相同的曲线。我们以图6–5中的抛物线为例。
图6-5
图中是曲线y=x2，它对应于计算器上最简单的非线性按键——平方函数x2。这个例子将告诉我们导数作为切线斜率的定义的一些实际应用，也将阐明这个定义中为什么要用到极限。
检视这条抛物线，我们看到它的有些部分陡峭，而有些部分相对平坦。其中最平坦的部分出现在抛物线底部，即x=0的那一点。无须做计算我们就能看出来，这个点的导数必定是0。它也只能是0，因为底部的切线显然是x轴。如果把这条切线看作一个斜坡，它自始至终都没有上升，因此它的斜率为0。
但在抛物线的其他点上，切线斜率并不那么显而易见，事实上根本不明显。为了解决这个问题，我们做一个爱因斯坦式的思想实验。假设我们可以像扩洗照片那样放大抛物线上的任意一点(x, y)，并让这个点始终处于视野的中心，那么我们会看到什么呢？就像我们在显微镜下观察曲线中的一段，并且逐渐增加放大率一样。随着镜头越来越近，这段抛物线看起来会越来越直。在放大无穷倍的极限情况下（相当于放大了我们感兴趣的那一点周围的一段无穷小的曲线），被放大的那一段曲线应该接近于一条直线。如果是这样，这条极限直线就会被定义为曲线上那一点的切线，它的斜率也会被定义为那一点的导数。
请注意，我们在这里利用的是无穷原则，即通过把一条复杂的曲线切分成无穷小的线段来简化它。在微积分领域，这是我们一直在做的事情。曲线形状很难对付，而直线形状即使无穷小且有无穷多个，处理起来也会容易得多。利用这种方法计算导数是微积分的一种典型操作，也是无穷原则最基本的应用之一。
为了进行思想实验，我们需要在曲线上选择一个点并放大它。尽管任意一点都可以，但为了数值上的便利，我们选择的是抛物线上x=1/2对应的那个点。在图6–5中，我用一个小圆点将它标示出来。在xy平面上，这个点位于(x, y)=(1/2, 1/4)，或者可以用十进制表示为(x, y)=(0.5, 0.25)。在该点上y等于1/4的原因在于，为了成为这条抛物线上的一个点，它必须像抛物线上的所有点那样遵从y=x2。毕竟，这是判定一个点是否在这条抛物线上的标准。因此，当x=1/2时，这个点的y值必须为：
现在，我们准备放大这个点。先把点(x, y)=(0.5, 0.25)放置于显微镜的视野中心，再借助计算机图形学放大该点附近的一小段曲线，第一次放大的结果如图6–6所示。
图6-6
抛物线的整体形状在这个放大的视图中消失了，相反，我们只能看到一段略微弯曲的弧。这一小段抛物线位于x=0.3和x=0.7之间，它的弯曲程度看起来要比整条抛物线小很多。
我们进一步放大x=0.49和x=0.51之间的那段抛物线，如图6–7所示。尽管这幅新的放大图像看起来比上一幅更直，但它并不是真正的直线，而仍为抛物线的一部分。
图6-7
其中的趋势显而易见。随着我们继续放大图像，视野中的那段抛物线看起来越来越直。对这个几乎变成直线的部分来说，我们计算它的垂直高度与水平距离之比Δy/Δx，实际上就是在求解当Δx趋于0时这段抛物线斜率（Δy/Δx）的极限值。计算机图形学有力地表明，这个部分的斜率越来越接近1，相当于一条45度角的直线。
借助一点儿代数知识，我们可以证明这里的极限斜率就是1（在第8章，我们将会看到具体的计算过程）。此外，不仅是在x=1/2处，在x取任意值时执行相同的计算，都可以得出抛物线上任意一点(x, y)的极限斜率或切线斜率等于2x。用微积分术语来说，x2的导数是2x。
尽管在继续讨论之前我很想证明一下这个求导法则，但让我们先接受它，看看它是什么意思。首先，它说在x=1/2处，斜率应该是2x=2×(1/2)=1，这正是我们在图像中看到的。其次，它预测在抛物线底部（x=0处）斜率应该是2×0=0，我们已经看到这也是正确的。最后，2x这个公式意味着，当我们向右延伸抛物线时斜率应该会增加。因为当x变大时，斜率（2x）也应该变大，抛物线应该变得更陡峭，而且事实的确如此。
这个抛物线实验有助于我们理解关于导数的一些注意事项。只有当被放大的曲线逼近极限直线时，我们才能定义导数。而对某些病态曲线来说，情况就不一样了。比如，如果有一条曲线呈V形，即在某个点上有一个尖角，那么当我们放大这个点时，它看起来仍然像一个角。无论放大多少倍，这个角都不会消失，曲线看上去也永远不会像直线。因此，V形曲线在拐角处没有明确的切线或斜率，在这一点上也就没有导数。
然而，如果一条曲线在任何一点处被充分放大之后，它看起来越来越直，我们就说这条曲线是光滑的。在本书中，我一直像先驱那样，假设微积分的曲线和过程都是光滑的。但在现代微积分领域，我们已经学会了如何处理非光滑曲线。在实际应用中，由于物理系统的突跳或其他不连续性行为，非光滑曲线的不便性和反常性时常会凸显出来。比如，当我们打开电路中的一个开关时，电流就会从完全不流动变为突然大幅度地流动。随着电流的接通，电流–时间图像会显示出一个几乎垂直的突然上升趋势，近似于不连续跳跃。有时我们将这种突然转变当作真正的不连续跳跃会更省事，在这种情况下，作为时间函数的电流在开关被打开的瞬间是没有导数的。
在高中或大学期间，微积分的第一堂课大多讲的都是求导法则，比如，x2的导数是2x，sinx的导数是cosx，lnx的导数是1/x，等等。然而，考虑到我们的目的，理解导数的概念并了解如何将它的抽象定义应用于实践，这些才是更重要的事。因此，让我们把目光投向现实世界。