作为瞬时速度的导数

作为瞬时速度的导数

2008年8月16日晚，北京，清朗无风。22点30分，世界上跑得最快的8个人站在了奥运会100米短跑决赛的起跑线上。其中一位是21岁的牙买加短跑运动员尤塞恩·博尔特[1]，对这个比赛项目而言，他算得上一位新人。作为知名的200米短跑选手，他几年来一直恳求教练让他尝试更短距离的比赛，在过去的一年中，他的表现非常出色。

博尔特看起来和其他短跑运动员不太一样。他身材瘦长，有6英尺5英寸（1.96米）高，步幅很大。小时候，他一直在练习足球和板球，直到他的板球教练注意到他的速度，并建议他去尝试田径项目。十几岁时，尽管他的跑步成绩不断提升，但他从未把这项运动或者自己太当回事儿。他滑稽又淘气，还喜欢开玩笑。

决赛的那个晚上，[2]在8名运动员被逐一介绍了一番，并在镜头面前做过鬼脸之后，整个体育场安静下来。选手们把脚放在起跑器上，做好预备姿势。一位裁判员喊道“各就各位，预备”，接着鸣响了发令枪。

尽管博尔特从起跑器上冲了出去，但他的爆发力不如其他选手。较慢的反应时间导致起跑后他在8个人中排名第7。他不断加速，在30米处跑到了中间位置。然后，他像高速列车一样继续加速，很快就把其他选手远远地甩在身后。

在80米处，博尔特朝右边瞥了一眼，想看看他的主要竞争对手在哪里。当意识到自己明显领先时，他减慢了速度，双臂垂放于身体两侧，冲过终点线时还拍了拍自己的胸脯。有些评论员认为他是在炫耀，有些评论员则认为他是在庆祝。无论如何，博尔特显然觉得他没必要在即将到达终点时拼命奔跑，这促使人们纷纷猜测他到底能跑多快。事实上，尽管他提前庆祝了胜利（鞋带也开了），但他还是以9.69秒的成绩创造了新的世界纪录。有位官员批评他缺乏体育精神，但博尔特并没有冒犯他人的意思。正如他后来告诉记者的那样：“这就是我。[3]我想玩得开心，一切放轻松。”

他跑得有多快呢？由9.69秒跑100米可以算出他的速度为：100/9.69=10.32米/秒。换算成我们更熟悉的单位，约为37千米/小时。但这是博尔特整场比赛的平均速度，他在比赛刚开始和快结束时的速度都比平均速度慢，而比赛过程中的速度比平均速度快。

我们可以从赛道上每隔10米记录下的分段时间中获得更详细的信息。他用1.83秒跑完了前10米，平均速度为5.46米/秒。他的最短分段时间出现在50米到60米、60米到70米和70米到80米，其中每个10米的用时都是0.82秒，平均速度为12.2米/秒。在最后10米，他放松下来，平均速度降至11.1米/秒。

人类已经进化出发现规律的能力，与其像我们刚才那样细心地研究数字，不如把它们形象化，这样往往能获得更多的信息。图6–11展示了博尔特跑完10米、20米、30米等的用时情况，一直到他在9.69秒时冲过百米终点线。

为便于观察，我把图上的点都用直线连接起来，但要记住只有这些点才是真正的数据。点和它们之间的线段构成了一条多边形曲线。最左边线段的斜率最小，对应于博尔特起跑后的较慢速度。越往右的线段越向上弯折，这意味着他在加速。之后的几条线段共同形成了一条近乎笔直的线，表明他在比赛的大部分时间里都保持着飞快且稳定的速度。

我们自然很好奇，他到底在何时和何处跑得最快。虽然我们知道他在10米区间内的最快平均速度出现在50米到80米，但我们真正想要的并不是他的平均速度，而是他的最快速度。假设博尔特戴着一个速度计，那么他在哪一刻跑得最快？他的最快速度究竟是多少？

在这里，我们寻找的是一种测量他的瞬时速度的方法。但是，这个概念看起来几乎是自相矛盾的。在任何时刻，博尔特都恰好身处某个地方，就像在快照里一样纹丝不动。既然如此，讨论他在一瞬间的速度又有什么意义呢？速度只能出现在一个时间间隔内，而非一个瞬间。

瞬时速度之谜与数学及哲学有着很深的历史渊源，可追溯到公元前450年前后，那时芝诺提出了几个令人敬畏的悖论。回想一下，在阿喀琉斯与乌龟的悖论中，芝诺声称跑得快的人永远追不上跑得慢的人，而这和博尔特那一晚在北京的出色表现完全不同。在飞矢不动悖论中，芝诺认为飞矢永远不会移动。尽管数学家仍然不确定他想用这些悖论来阐述什么观点，但我的猜测是，瞬间速度这个概念内在的微妙之处困扰着芝诺、亚里士多德和其他希腊哲学家。他们的不安或许可以解释，为什么希腊数学很少谈及运动和变化。跟无穷一样，这些令人讨厌的话题已被从彬彬有礼的交谈中“驱逐”出去了。

在芝诺提出那些知名悖论的2 000年后，微分学的创立者解开了瞬时速度之谜。他们直观的解决方案是，将瞬时速度定义为一个极限，具体来说，就是在越来越短的时间间隔内平均速度的极限。

这类似于我们放大抛物线时所做的事情：先让一段越来越短的光滑曲线逼近直线，然后探究在放大无穷倍的极限情况下会发生什么。通过研究直线斜率的极限值，我们就可以定义光滑抛物线上某一点的导数。

在这里，通过类比的方法，我们对某种随时间发生平稳变化的对象进行近似推理，即博尔特在赛道上跑过的距离。我们的想法是，用一条在很短的时间间隔内以恒定的平均速度变化的多边形曲线，去取代他的距离–时间图像。随着时间间隔越来越短，如果每个时间间隔的平均速度趋于一个极限，这个极限值就是我们所说的某一时刻的瞬时速度。正如某一点的斜率那样，瞬间速度也是一个导数。

要想成功实现这一切，我们必须假设博尔特在赛道上跑过的距离是平稳变化的，否则我们研究的极限和导数就都不存在了。因为随着时间间隔的缩短，结果不会趋于任何合理的极限值。那么，他跑过的距离是否会随时间平稳地变化呢？我们对此并不确定。我们唯一拥有的数据是，博尔特经过赛道上的每个10米标记处的时间所构成的离散样本。想要估算他的瞬时速度，我们必须跳出这些数据，有根据地推测他在相邻两点之间的某个时间身处的位置。

这种系统化的推测方法被称为插值法，其目的是在可用数据之间绘制一条光滑曲线。换句话说，我们并不像之前那样用线段，而是用最合理的光滑曲线来连接这些点，[4]或者至少要非常靠近这些点。对于这条曲线，我们设定的限制条件是：它应该是绷紧的，起伏不能太大；它应该尽可能地靠近所有点；它应该展示出博尔特的初始速度为0，因为我们知道他在做预备姿势的时候是静止不动的。有许多不同的曲线都符合这些标准；统计学家想出了很多用光滑曲线去拟合数据的方法，它们也都给出了类似的结果。而且，这些方法都包含些许推测的成分，所以我们不用太在意该选择哪一种。

图6–12展示的就是其中一条能满足上述所有要求的光滑曲线。

由于曲线被设计成光滑的，我们可以计算出它上面的每一点的导数，最终生成的图像给出了博尔特在北京奥运会的那场创造世界纪录的比赛中每个瞬时速度的估计值，如图6–13所示。

从图6–13中可以看到，博尔特在比赛进行到大约3/4的时候达到了12.3米/秒的最高速度。在此之前，他每时每刻都在加速。而在此之后，他开始减速，以至于当他冲过终点线时速度降到了10.1米/秒。这幅图证实了所有人看到的情况：博尔特在接近终点时速度骤减，特别是在最后的20米，他放松下来并提前庆祝自己的胜利。

在2009年柏林世界田径锦标赛上，博尔特结束了人们对于他能跑多快的猜测。这一次他没有提前拍胸脯庆祝胜利，而是努力跑到终点，并以更加惊人的9.58秒的成绩打破了他在北京奥运会上创造的9.69秒的世界纪录。由于人们对这次比赛怀有巨大的期待，所以生物力学研究人员启用了激光枪[5]（类似于警察用来抓超速驾驶者的雷达枪），这种高科技仪器使得研究人员能以100次/秒的频率测量短跑运动员的位置。在计算了博尔特的瞬时速度后，他们的发现如图6–14所示。

总体趋势上的那些小波动，代表了他在大步奔跑期间不可避免会出现的速度起伏。毕竟，跑步涉及一系列的腾空和落地动作。每当博尔特的一只脚在落地的瞬间“急刹车”，随即再次驱动身体向前和腾空，他的速度就会发生一点儿变化。

虽然这些小波动很有趣，但对数据分析师来说，它们既讨厌又烦人。我们真正想看到的是趋势，而不是波动，因此，早期用光滑曲线拟合数据的方法就很不错，甚至可以说更佳。在收集了所有的高分辨率数据并注意到这些波动之后，研究人员无论如何都要把它们清理干净。他们过滤掉这些波动，是为了揭示更有意义的趋势。

对我来说，这些波动中蕴含着一个重要的教训。我把它视为隐喻或寓言，反映了用微积分为真实现象建模的本质。如果我们设法把测量的分辨率推升得过高，在时空中极其细微地观察任何现象，就会看到光滑度的崩解。在博尔特的速度数据中，小波动取代了平稳的趋势，让图像看起来就像管道清洁器一样有许多分叉。如果我们可以在分子尺度上进行测量，那么任何形式的运动都会出现同样的情况。在这个级别上，运动变成了一点儿也不平稳的抖动，所以微积分无法再（至少不能直接）给我们提供什么信息。然而，如果我们关心的是总体趋势，消除这些小波动可能就足够了。微积分给予我们的关于宇宙中运动和变化本质的巨大洞见，尽管有可能是近似的，但却证明了光滑度的力量。

除此之外，这里还有一个教训：和所有科学领域一样，在建立数学模型时，我们总要对强调什么和忽略什么做出选择。抽象的艺术在于，知道什么是必不可少的，什么是细枝末节的；知道什么是信号，什么是噪声；知道什么是趋势，什么是波动。这是一门艺术，因为诸如此类的选择总是存在着风险，它们与痴心妄想或学术欺诈只有一线之隔。伽利略和开普勒等伟大的科学家都曾想方设法行走在这样的“悬崖峭壁”之上。

毕加索说：“艺术是让我们认识真理的谎言。”[6]这句话同样适用于作为自然模型的微积分。17世纪上半叶，微积分开始成为研究运动和变化的一种强有力的抽象工具。17世纪下半叶，同样的艺术选择——揭示真理的谎言——为一场革命铺平了道路。