尽管微积分曾与用石头计数有关，但到了牛顿和莱布尼茨的时代，它已经通过代数应用于曲线和他们所做的新奇分析。早在30年前（17世纪40年代），费马和笛卡儿就发现了利用代数找到曲线的最大值、最小值和切线的方法。而曲线的面积，或者更准确地说是曲线所围区域的面积，仍然是一个未知数。
传统上，这个面积问题被称作曲线求积，它困扰和折磨数学家达2 000年之久。人们想出了很多解决特定问题的巧妙技巧，比如，阿基米德在圆的面积和抛物线求积方面取得的成果，以及费马计算曲线y=xn下方面积的方法。但因为缺少一个系统，各个面积问题只能在特别的基础上解决，并且要具体问题具体分析，这意味着数学家每次都不得不从头开始。
曲面体体积问题和弧长问题也遇到了同样的困难。事实上，笛卡儿认为弧长超出了人类的理解范围。他在自己的几何著作中写道：“直线和曲线之间的比率[1]是未知的，在我看来，它甚至是人类无法知道的。”所有这些问题——面积、弧长和体积——都需要对无穷多个无穷小的部分进行求和运算，换成现代的说法就是它们都涉及积分。没有人能找到一个适用于所有问题的万能系统。
在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后，情况发生了变化。他们各自发现并证明了一个基本定理，它能使这类问题常规化。该定理将面积与斜率联系起来，进而将积分与导数联系在一起，这着实令人惊讶。就像狄更斯小说中的情节转折一样，两个看似毫不相干的人物竟然是最亲近的家人，积分和导数之间也存在着“血缘关系”。
这个基本定理的影响力惊人，几乎一夜之间，面积问题就变得容易解决了。曾让早期学者一筹莫展的难题，现在只需几分钟就可以搞定。正如牛顿在写给朋友的信中所说：“并非所有方程都可以用曲线来表示[2]……但我能在不到半刻钟的时间内判断出它是否可以求积。”当意识到这种说法可能会让他的同时代人觉得不可思议时，他继续说道，“这看似一个冒失的断言……但凭借着赋予我灵感的源泉，[3]它对我而言确实是显而易见的，不过我不会向他人证明这一点。”
牛顿的隐密源泉就是微积分基本定理。尽管他和莱布尼茨都不是最早注意到这个定理的人，[4]但他们却由此获得赞誉，因为总的来说，他们率先证明了这个定理，认识到它巨大的效用和重要性，并围绕它构建起算法体系。他们创立的方法现在已经普及开来，积分这头怪兽“被拔除了尖牙”，变成了青少年的家庭作业。
目前，世界各地数百万的高中生和大学生都在刻苦认真地完成他们的微积分习题集，在基本定理的帮助下解决一个又一个积分问题。然而，他们中的许多人却对自己得到的这份礼物视而不见。也许，这是可以理解的，就像那个古老的笑话一样。鱼问它的朋友：“你难道不感激水吗？”另一条鱼反问道：“水是什么？”学习微积分的学生一直浸淫在基本定理中，所以他们视其为理所当然。
[1] “between straight and curved lines”: René Descartes, The Geometry of René Descartes: With a Facsimile of the First Edition, translated by David E.Smith and Marcia L.Latham (Mineola, NY: Dover, 1954), 91.Within twenty years, Descartes was proved wrong about the impossibility of finding arc lengths exactly for curves; see Katz, History of Mathematics, 496–98.
[2] “There is no curved line”: I’ve updated Newton’s spelling here for easier reading.The original was “There is no curve line exprest by any æqua tion...but I can in less then half a quarter of an hower tell whether it may be squared.” Letter 193 from Newton to Collins, November 8, 1676, in Turnbull, Correspondence of Isaac Newton, 179.The omitted material involves technical caveats about the class of trinomial equations to which his claim applied.See “A Manuscript by Newton on Quadratures,” manu script 192, in ibid., 178.
[3] “the fountain I draw it from”: Letter 193 from Newton to Collins, November 8, 1676, in ibid., 180.Again, I’ve updated the spelling; Newton wrote “ye fountain.”
[4] weren’t the first to notice this theorem: Katz, History of Mathematics, 498–503, shows that James Gregory and Isaac Barrow had both related the area problem to the tangent problem and so had anticipated the fundamental theorem but concludes that “neither of these men in 1670 could mold these methods into a true computational and problem-solving tool.” Five years before that, however, Newton already had.In a sidebar on page 521,Katz makes a convincing case that Newton and Leibniz (as opposed to“Fermat or Barrow or someone else”) deserve credit for the invention of calculus.