运动使基本定理更直观
通过思考运动物体（比如跑步者或者汽车）行进的距离，我们可以直观地理解微积分基本定理：它讲了些什么，它为什么是正确的，以及它为什么很重要。基本定理不只是一个求解面积的技巧，也是预测我们关心之事的未来（在可能的情况下），以及解开宇宙中的运动和变化之谜的关键。
当牛顿动态地看待面积问题时，他发现了基本定理。他的想法是在这幅图景中引入时间和运动，用他的话说就是让面积流动起来，并不断扩大。
体现他这种想法的最简单例子是一辆以恒定速度行驶的汽车，其中距离等于速度乘以时间。尽管这个例子可能很简单，但它仍然抓住了基本定理的本质，算是一个不错的起点。
假设有一辆汽车以60英里/小时的速度沿公路行驶，我们分别绘制出它的距离–时间图像和速度–时间图像，如图7–1所示。
图7-1
我们先来看距离–时间图像（图7–1上图）。1小时后汽车行驶了60英里，2小时后汽车行驶了120英里，以此类推。总的来说，距离与时间的关系式为y=60t，其中y表示汽车在t小时后行驶的距离。我把y(t)=60t称为距离函数，它的图像是一条斜率为60英里/小时的直线。在我们还不知道速度的情况下，这个斜率可以告诉我们汽车的瞬时速度。在难度较大的问题中，速度可能会波动，不过在这里它是一个简单的常函数，即不管t是多少，都有v(t)=60，它的图像是一条平线（图7–1下图）。
我们已经看到速度在距离图像上是如何呈现的（作为直线的斜率），现在我们把这个问题反过来：距离在速度图像上是如何呈现的？换句话说，速度图像是否具有某种视觉或几何特征，能让我们推断出汽车在t小时后行驶的距离呢？当然有，汽车行驶的距离是速度曲线（平线）下方累积到时间t的面积。
为了说明原因，我们假设汽车行驶了一段时间，比如1/2个小时。在这种情况下，汽车行驶的距离为30英里，因为距离等于速度乘以时间，即60×1/2=30。重点在于，我们通过平线下方t=0和t=1/2小时之间的灰色矩形的面积，也能算出汽车行驶的距离（图7–2）。
图7-2
用矩形的高（60英里/小时）乘以它的底（1/2小时），得出它的面积为30英里，这就是汽车行驶的距离。
同样的推理过程适用于任意时间t，这样一来，矩形的底就变为t，它的高仍然是60，它的面积是60t。事实上，这正是我们想求解的距离，即y=60t。
所以，至少在这个速度完全恒定且速度曲线是一条平线的例子中，根据速度推断出距离的关键在于计算速度曲线下方的面积。牛顿的见解是，即使速度不是恒定的，面积和距离之间的这个等式也会一直成立。不管物体的运动有多么不规律，它的速度曲线下方累积到时间t的面积总会等于它在t小时后行驶的距离。这是基本定理的版本之一，它似乎容易得让人难以置信，但事实的确如此。
牛顿之所以会产生这样的见解，是因为他把面积看作一个流动或移动的量，而不是按照当时几何学的惯例，把面积视为对形状的一种静态度量。他把时间引入几何学，并用物理学的眼光去看待它。如果牛顿现在还活着，他可能会把图7–2想象成动画，而且相较于快照，它更像翻页书。为了做到这一点，请再看一次图7–2，不过现在我们要把它想象成电影中的一帧或者翻页书中的一页。当动画在我们的脑海中播放时，我们会看到灰色矩形在做什么呢？它正在向一侧扩张。为什么呢？因为它的底（t）随时间的推移而增加。如果我们可以为每个时刻都制作一帧画面，并像翻动翻页书那样按顺序重新播放它们，动画版的灰色矩形看起来就在向右延伸。它类似于一个正在伸出的活塞，或者一支横放的注射器，正在将灰色液体吸入针筒。
灰色液体代表矩形不断扩大的面积，所以我们认为速度曲线v(t)下方的面积是“不断累积”的。在这个例子中，累积到时间t的面积是A(t)=60t，这与汽车行驶的距离y(t)=60t一致。因此，速度曲线下方的累积面积会给出距离随时间变化的情况。这是运动版的基本定理。