用油漆滚筒证明基本定理

用油漆滚筒证明基本定理

微积分基本定理是18世纪数学思想的巅峰。它通过动态的方式回答了一个静态的几何问题，从公元前250年古希腊的阿基米德、250年中国的刘徽、1000年开罗的海什木到1600年布拉格的开普勒，可能都问过这个问题。

我们来看一下图7–4中灰色区域的形状。

假设该形状的顶部曲线可以是几乎所有形状，那么有没有一种方法能算出像它这样的任意形状的确切面积呢？尤其要注意，它不必是经典曲线，它有可能是某个方程在xy平面上定义的一条新奇的曲线。或者，如果这条曲线是由物理学感兴趣的事物来定义的，比如一个粒子的运动轨迹或者一道光线的传播路径，那么我们是否有办法系统地算出它下方的面积呢？这就是面积问题，也是我在前文中提到的微积分的第三个核心问题，还是17世纪中期最紧迫的数学挑战和曲线之谜中的最后一个未解难题。牛顿利用在运动和变化之谜中获得的启发，从一个新的方向走近这个问题。

从历史上看，解决这类问题的唯一方法就是头脑够聪明。你必须找到某种巧妙的方法把一个曲边区域切分成条块，或者把它打成碎片，然后在你的脑海中重新组合这些条块或碎片，或者像阿基米德那样在假想的跷跷板上称出它们的重量。但在1665年前后，牛顿给这个面积问题带来了近2 000年里从未有过的重大进展。尽管他吸收了伊斯兰代数和法国解析几何的见解，但却远远超越了它们。

根据牛顿的新体系，第一步是将这个面积放在xy平面上，并确定其顶部曲线的方程。这需要计算曲线在x轴上方的高度，也就是每次取一个垂直切片（如图7–4中虚线所示）以获得相应的y。这个计算过程可以把曲线转换成一个将y和x联系在一起的方程，以便用代数工具进行处理。早在30年前（17世纪40年代），费马和笛卡儿就充分了解了这一点，并运用这些技巧找到了曲线的切线，这本身就是一个巨大的突破。

但他们忽略了一点，那就是切线本身并没有那么重要。比切线更重要的是它们的斜率，因为正是斜率引出了导数的概念。就像我们在上一章看到的那样，作为曲线斜率的导数非常自然地出现在几何学中。在物理学中，导数也是作为其他变化率出现的，比如速度。因此，导数表明了斜率与速度之间的联系，更广泛地讲，是几何学和运动之间的联系。一旦导数的概念深深地扎根在牛顿的头脑中，它桥接几何学和运动的能力就会使最后的突破成为可能。而且，最终解决面积问题的正是导数。

当牛顿动态地看待面积问题时，所有这些概念——斜率与面积、曲线与函数、速率与导数——之间深藏的联系就从阴影中显现出来。秉持着我们在前两节内容中的研究精神，请你观察图7–4，并想象x以恒定的速度向右滑动。你甚至可以把x看作时间，牛顿经常这样做。然后，随着x的移动，灰色区域的面积会不断变化。这个面积取决于x，它应该被视为x的函数，所以我们把它写作A(x)。当我们想强调这个面积是x的函数（而不是一个固定的数）时，我们就称它为面积累积函数，有时简称为面积函数。

对于这个流动的场景（滑动的x和变化的面积），我高中的微积分老师乔夫雷先生打了一个令人难忘的比方。他让我们想象有一个神奇的油漆滚筒，当它平稳地向右滚动时，就会将曲线下方的区域涂成灰色（图7–5）。

x处的虚线表示这个假想的油漆滚筒当前的位置。同时，为了确保这个区域被恰当地刷好，滚筒会在垂直方向上魔法般地即时收缩或拉伸，正好触达顶部的曲线和底部的x轴，而不会越界。这个滚筒的神奇之处在于，它在滚动的过程中总能根据y(x)调整自己的长度，从而干净利落地刷好整个区域。

在设定了这个令人难以置信的场景之后，我们要解决的问题是：当x向右移动时，灰色区域的扩张速率是多少？或者说，当滚筒到达x处时，它刷油漆的速率是多少？为了回答这个问题，想想在下一个无穷小的时间间隔内会发生什么。答案是：滚筒会向右移动无穷小的距离dx。而且，当它滚过这个微小的距离时，它在垂直方向上的长度y几乎保持不变，因为在这个无限短的滚动过程中它几乎没有时间改变自己的长度（具体细节我们将在下一章再做讨论）。在这个短暂的时间间隔内，滚筒刷出来的是一个长而细的矩形：高为y，底为无穷小的dx，面积为无穷小的dA=ydx。将方程两边同时除以dx，就可以得到面积累积的速率：

这个整洁的公式表明，曲线下方涂刷的总面积会以油漆滚筒当前的长度y的速率增大。这是有道理的：滚筒当前的长度越长，它在下一个瞬间刷的油漆就越多，面积累积的速率也越快。

只要稍加努力，我们就可以证明这个定理的几何版等价于我们之前用过的运动版，即速度曲线下方的累积面积等于运动物体行进的距离。但是，还有更急迫的任务在等着我们。我们需要理解这个定理意味着什么，它为什么重要，以及它最终是如何改变世界的。