基本定理的意义

基本定理的意义

图7–6概括了我们前面学过的内容。

图7–6展示了我们感兴趣的三个函数和它们之间的关系。已知的曲线在中间，未知的斜率在右边，未知的面积在左边。正如我们在第6章看到的那样，它们都是出现在微积分三大核心问题中的函数。已知曲线y，我们尝试计算它的斜率和面积。

现在，我希望图7–6能解释清楚为什么我要把求曲线斜率的问题称为“正向问题”。为了根据已知的曲线求出未知的斜率，我们沿着向右的箭头前进即可。只要我们计算y的导数，就能求出曲线的斜率，这是我们在上一章讨论的正向问题。

我们之前不知道但刚刚从基本定理中了解到，面积A和曲线y也是通过导数联系在一起的，因为基本定理揭示了A的导数就是y。这是一个惊人的事实。它为我们提供了一种计算任意曲线下方面积的方法，而这个古老的谜题在近2 000年的时间里曾让那些最伟大的人头疼不已。现在，这幅图为我们指出了一条通向答案的路径。但在开香槟庆祝之前，我们应该意识到基本定理并未完全给出我们想要的结果。它没有直接告诉我们面积是多少，而是为我们提供了计算方法。