无穷小量

无穷小量

无穷小量是一种模糊的东西，它应该是你能想到的最小却不为0的数。更简洁地说，无穷小量小于一切，但又大于0。

更加矛盾的是，无穷小量的大小不同。一个无穷小量的无穷小部分还要小得多，我们称之为二阶无穷小量。

正如存在无穷小的数一样，也存在无穷小的长度和无穷小的时间。无穷小的长度尽管不是一个点（它比点大），但却比你能想象到的任何长度都小。同样，无穷小的时间间隔尽管不是一瞬间，也不是一个时间点，但却比你能想象到的任何持续时间都短。

无穷小量的概念是作为一种讨论极限的方式出现的。还记得在第1章的例子中，我们观察了一系列正多边形，先是等边三角形和正方形，然后是五边形、六边形和其他边数越来越多的正多边形。我们注意到，边的数量越多，边长就越短，多边形看上去也越像圆。尽管我们很想说圆就是边长无穷小的无穷多边形，但还是忍住了，因为这种想法似乎会变成无稽之谈。

我们也发现，如果选择圆周上的任意一点并在显微镜下观察它，那么随着放大倍数的增加，包含该点在内的任意微小的弧看起来都会越来越直。在放大无穷倍的极限情况下，那段微小的弧看上去就是笔直的。从这个意义上说，把圆看作由无穷多条线段组成的形状，进而把它视为边长无穷小的无穷多边形，似乎大有帮助。

虽然牛顿和莱布尼茨都利用了无穷小量，但牛顿后来又否认了它们，改为支持流数（一阶无穷小量的比率，它们像导数一样是有限的和可接受的）。莱布尼茨则对无穷小量持一种更加务实的态度[1]，他并不在意它们是否真实存在，而只将其视为重构关于极限的论证过程的有效方式。莱布尼茨还把无穷小量当作解放想象力的有效簿记工具，从而使研究工作更富成效。就像他向一位同行解释的那样：“从哲学角度讲，我对无穷小量和无穷大量一视同仁。我认为它们都是思维的虚构产物[2]，以及适用于微积分的简洁讲述方式。”

今天的数学家是怎么想的呢？无穷小量确实存在吗？这取决于你对“确实”一词的理解。物理学家告诉我们，无穷小量并不存在于现实世界中（但话说回来，无穷小量也不存在于其他数学领域中）。在理想的数学世界里，尽管无穷小量在实数系中不存在，但它们的确存在于某些扩充了实数系的非标准数系中。对莱布尼茨及其追随者来说，无穷小量是以迟早会派上用场的思维虚构产物的形式存在的，这也将成为我们看待无穷小量的方式。