为了理解无穷小量是多么富有启发性，我们不妨从非常具体的例子入手。思考一下这个算术问题：2的立方（2×2×2）是多少？答案当然是8。那么，2.001×2.001×2.001是多少？其结果肯定略大于8，但到底大多少呢？
在这里，我们要寻找的是一种思维方式，而不是一个数值解。一般性的问题是，当我们改变一个问题的输入（在这个例子中，就是把2变为2.001）时，输出会改变多少呢？（在这里，答案从8变为8加上某个我们想要了解其结构的东西）。
既然很难忍住不偷看，那么干脆看看计算器会告诉我们什么吧。输入2.001，然后按下x3键，得到：
(2.001)3=8.012 006 001
我们需要注意的结构是这个数的小数部分，它实际上是由3个大小完全不同的部分组成的：
0.012 006 001=0.012+0.000 006+0.000 000 001
我们可以把它想象成“小”的部分加上“超小”的部分再加上“超超小”的部分，并运用代数方法来理解这个结构。假设一个量x（在这个例子中是2）略微变化为x+Δx（在这个例子中是2.001）。符号Δx表示x的差分，指x的微小变化量（在这个例子中Δx=0.001）。当我们问(2.001)3是多少时，我们实际上问的是(x+Δx)3等于多少。经过乘法运算（或者运用杨辉三角形和二项式定理），我们发现：
(x+Δx)3=x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3
把x=2代入后，这个方程变为：
(2+Δx)3=23+3(2)2(Δx)+3(2)(Δx)2+(Δx)3
=8+12Δx+6(Δx)2+(Δx)3
现在我们就能明白，为什么除了8以外的数位是由3个大小不同的部分组成的。小但却占据主导地位的部分是12Δx=12×0.001=0.012，而6(Δx)2和(Δx)3则分别对应超小部分0.000 006和超超小部分0.000 000 001。某个部分中Δx的指数越大，其数值就越小。每多乘以一次微小的因子Δx，都会让一个小的部分变得更小，这就是各个部分大小不同的原因。
这个例子虽然不起眼，却恰恰展示出微积分背后的核心观点。在很多关于原因与结果、剂量与反应、输入与输出，或者其他类型的自变量x和因变量y之间关系的问题中，输入的一个小的变化量（Δx）都会使输出产生一个小的变化量（Δy）。这个小变化量通常是以我们可利用的结构化方式组织起来的，也就是说，输出的变化量包含不同层级的部分。按照大小，它们可以被分级成小的、超小的甚至更小的部分。这种分级方式会让我们专注于小但却占据主导地位的变化量，而忽略超小甚至更小的其他变化量。虽然这个变化量很小，但和其他变化量相比却是巨大的（比如，与0.000 006和0.000 000 01相比，0.012是巨大的）。这就是微积分背后的核心观点。