连续体与离散集

连续体与离散集

在大多数情况下，牛顿只是将微积分应用于一个或两个物体，比如一个摇摆的钟摆、一枚飞行的炮弹和一颗绕太阳旋转的行星。他从过去的惨痛教训中领悟到，求解三个或更多物体的微分方程是一场噩梦。太阳、地球和月亮之间的引力相互作用问题，已经让他头痛不已了。所以，分析整个太阳系是根本不可能的，这远远超出牛顿运用微积分所能解决问题的范畴。正如他在一篇未发表的论文中说的那样：“除非我弄错了，[1]否则同时考虑运动的众多原因将超出人类的智力范围。”

但令人惊讶的是，随着物体数量的增加，一直到无穷多个粒子，微分方程又变得易于求解了……只要这些粒子形成连续介质，而不是离散集。我们来回顾一下两者的区别：一组粒子的离散集就像一堆散落在地板各处的弹珠。它们的离散性体现在，你可以触碰到一颗弹珠，然后在空间中移动你的手指，才能触碰到另一颗弹珠，以此类推。简言之，弹珠之间是有空隙的。相比之下，对于连续介质，比如一根吉他弦，当沿着弦长的方向移动时你的手指无须抬离它。吉他弦上的所有粒子似乎都结合在一起，当然，这不是真的。因为吉他弦和其他所有实物一样，在原子尺度上也是离散的、颗粒状的。但在我们头脑中，吉他弦更应该被视为一个连续体，这个有用的假想把我们从考虑数万亿个粒子的苦差事中解放出来。

正是通过解决连续介质如何移动和变化的谜题（比如，吉他弦如何振动从而演奏出温暖人心的音乐，或者热量如何从温暖的区域流动到寒冷的区域），微积分才在改变世界的道路上又迈出了一大步。然而，微积分必须先改变自身，它需要扩充微分方程是什么和微分方程可以描述什么的概念。