常微分方程与偏微分方程

常微分方程与偏微分方程

当艾萨克·牛顿解释行星的椭圆轨道时，当凯瑟琳·约翰逊计算约翰·格伦的太空舱轨道时，他们求解的都是常微分方程[1]，这类微分方程只取决于一个自变量。

比如，在牛顿解决二体问题的方程中，行星的位置是一个时间函数。根据F=ma，它的位置每时每刻都在改变。这个常微分方程决定了在下一个无穷小的时间增量中，行星位置会发生多大的改变。在这个例子中，行星的位置是因变量，因为它取决于时间（自变量）。同样，在艾伦·佩雷尔森的HIV动态模型中，时间也是自变量。该模型模拟的是在施用抗反转录病毒药物后，患者血液中的病毒颗粒浓度下降的过程。这个问题也涉及时间带来的变化，即病毒颗粒浓度每时每刻是如何变化的。在这里，病毒颗粒浓度扮演着因变量的角色，而自变量仍然是时间。

更一般地说，常微分方程描述的是，某个因素的无穷小的变化（比如无穷小的时间增量）如何引起其他因素（比如行星的位置和病毒颗粒的浓度）的无穷小的变化。这样的方程之所以被称为“常”微分方程，是因为它们只有一个自变量。

奇怪的是，因变量的数量无关紧要。只要有且仅有一个自变量，这个微分方程就可以被视为常微分方程。比如，想要确定一艘在三维空间中移动的宇宙飞船的位置，就需要有3个数字：x、y和z。它们通过在左右、上下和前后方向上定位宇宙飞船，标示出它在某一时刻的位置，进而告诉我们它离任意参考点（被称为原点）有多远。随着宇宙飞船的移动，它的x、y和z坐标每时每刻都在变化，因此它们都是时间函数。为了强调它们的时间依赖性，我们可以把它们写作x(t)、y(t)和z(t)。

常微分方程完全适用于包含一个或更多物体的离散系统，它们可以描述一艘宇宙飞船重返大气层的运动，一个钟摆来回摇摆的运动，或者一颗行星绕太阳旋转的运动。关键在于，我们必须把每个物体都理想化为一个点状对象，或者一个没有空间范围的无穷小点。这样一来，我们就可以认为它存在于坐标是x、y、z的点上。同样的方法也适用于有许多点状颗粒的情况，比如，一大群微型宇宙飞船，一串由弹簧连接起来的钟摆，一个由8颗行星和无数颗小行星组成的太阳系。所有这些系统都可以用常微分方程来描述。

在牛顿之后的几个世纪里，数学家和物理学家开发出很多求解常微分方程的巧妙方法，以便对它们描述的现实世界系统的未来做出预测。这些数学方法包括：牛顿的幂级数概念的扩展，莱布尼茨的微分概念，为调用微积分基本定理进行的巧妙变换，等等。这是一个巨大的产业，并且延续至今。

但所有系统不都是离散的，或至少不都适合被视为离散系统，就像我们在吉他弦的例子中看到的那样。因此，并非所有系统都可以用常微分方程来描述。为了理解其中的原因，我们来看看餐桌上的一碗汤的冷却过程。

在某种程度上，一碗汤是一堆离散的分子，它们都在杂乱无章地四处跳跃。但我们不可能看见、测量或量化它们的运动，所以没有人会考虑用常微分方程为一碗汤的冷却过程建模。这不仅是因为有太多的粒子需要处理，还因为它们的运动过于不规则、随意和不可知。

一种更实际的描述汤冷却过程的方法是，把汤看作连续体。尽管这不符合真实情况，但却很有效。在连续体近似方法中，我们假设汤存在于汤碗的三维体积内的每一点。某个给定点(x, y, z)的温度T取决于时间t，这个信息可以用函数T(x, y, z, t)来表达。我们很快就会看到，有些微分方程可以描述这个函数的空间和时间变化。但这类微分方程不是常微分方程，因为它们取决于不止一个自变量。事实上，它们取决于4个自变量：x，y，z和t。这是一种新的微分方程——偏微分方程[2]，之所以这样命名，是因为它们的每个自变量在引发变化的过程中都发挥着各自的作用。

偏微分方程比常微分方程丰富得多，它们描述了连续系统的运动同时随空间和时间发生的变化，或者连续系统在两个或更多维度的空间中运动的变化情况。除了一碗逐渐冷却的汤之外，吊床下垂的形状也可以用这样的方程来描述，污染物在湖泊中的扩散或者战斗机机翼上方的气流亦如此。

偏微分方程极其难解，在它们面前，已经很难解的常微分方程看起来简直是小儿科。不过，偏微分方程也极其重要。每当我们飞上天空时，我们的生死就取决于它们。