偏微分方程与波音787客机

偏微分方程与波音787客机

现代飞机翱翔在天空中，这是微积分创造的一个奇迹。但情况并非一直如此，在航空业发展初期那个相对落后的年代，第一批飞行器是通过模仿鸟类和风筝，以及凭借工程学知识和坚持不懈的试错发明出来的。比如，莱特兄弟利用他们的自行车知识，设计出既可以在飞行过程中控制飞机，又能克服它们的内在不稳定性的三轴系统。

然而，随着航空器变得越来越先进，运用更精湛的手段去设计它们也变得越发必要。风洞让工程师可以在航空器不离开地面的情况下测试它们的空气动力学性能。设计者建造的真机缩比模型，可以使工程师在无须建造昂贵的全尺寸模型的情况下，对航空器的适航性进行测试。

第二次世界大战后，航空工程师将计算机添加到他们的设计“武器库”中。这种曾用于密码破译、炮位计算和天气预报的真空管“巨兽”，被航空工程师用来辅助建造现代喷气式飞机，求解在设计过程中必然会出现的复杂偏微分方程。

其中涉及的数学计算可能难度极大，部分原因在于飞机的几何结构十分复杂。飞机不像球体、风筝或轻木滑翔机，它的形状要复杂得多，包含机翼、机身、发动机、尾翼、襟翼和起落装置，这些组成部分都能使高速掠过飞机的气流发生偏转。而且，高速气流一旦发生偏转，就会对使它偏转的物体施加一个力（曾坐车飞驰在高速公路上并把手伸出车窗的人应该知道这一点）。如果一架飞机的机翼形状适当，高速气流就会把它抬升起来。如果这架飞机在跑道上以足够快的速度运动，向上的力就会把飞机抬离地面并使其保持在空中。升力是一种垂直于气流运动方向的力，而另一种力——阻力的作用方向则平行于气流的运动方向。阻力类似于摩擦力，它会阻碍飞机运动并使其减速，导致飞机发动机的运转更费力并消耗更多燃料。计算升力和阻力的大小属于极其困难的微积分问题，远超人类解决实际的飞机形状问题的能力范围。然而，这类问题必须解决，它们对于飞机的设计至关重要。

以波音787梦想客机[1]为例。2011年，波音公司（全球最大的航空航天公司）推出了可运载200~300人进行长途飞行的新一代中型喷气式飞机——787梦想客机，它是为取代767客机而设计的。波音公司宣称，相比767客机，787客机的噪声水平降低了60%，而燃油效率提高了20%。787客机最具创新性的特征之一是，它的机身和机翼都使用了碳纤维增强聚合物。这些太空时代的复合材料比喷气式飞机的传统制造材料铝、钢和钛更轻，强度也更大。由于它们比金属轻，所以既有助于节省燃料，也能让飞机飞得更快。

不过，787客机最具创新性的地方或许体现在，它的设计中凝聚的数学与计算方面的远见卓识远超以往的任何机型。微积分和计算机为波音公司节省了大量时间，因为模拟一架新样机比制造一架新样机快得多。它们也为波音公司节省了大量资金，因为相比在过去几十年里价格不断飙升的风洞试验，计算机模拟要便宜得多。波音公司的首席使能技术与研究工程师道格拉斯·鲍尔在一次采访中指出，在20世纪80年代767客机的设计过程中，波音公司建造并测试了77种样机机翼。25年后，通过运用超级计算机来模拟787客机的机翼，他们只需要建造和测试其中的7种。

偏微分方程在这个过程中发挥了诸多方面的作用。比如，除了计算升力和阻力之外，波音公司的应用数学家还用微积分预测了飞机以600英里的时速飞行时机翼会如何弯曲。当机翼受到升力时，升力会导致机翼向上弯曲和扭曲。工程师试图避免的一种现象是被称为气动弹性颤振[2]的危险效应，它类似于微风吹过百叶窗帘时发生的颤振，但情况更加棘手。在最好的情况下，机翼的这种不受欢迎的振动会造成旅途的颠簸和不适。而在最坏的情况下，这种振动会形成一个正反馈回路：当机翼颤振时，它们会改变周围的气流，并使自身颤振得更厉害。众所周知，气动弹性颤振会损坏试验飞机的机翼，导致结构失效和坠毁（洛克希德公司的F–117夜鹰隐形战斗机在一次飞行表演期间就发生了这种事故）。如果严重的颤振现象发生在商业航班上，可能会置数百名乘客的生命于危险之中。

控制气动弹性颤振的方程与我们在前文中讨论面部手术时提及的方程密切相关。在那里，塑形师秉承阿基米德的思想，将患者的软组织和颅骨近似分解为几十万个宝石形状的多面体和多边形。本着同样的理念，波音公司的数学家将机翼近似分解为几十万个微型立方体、棱柱体和四面体，这些较为简单的形状扮演着基本构建单元的角色。就像在面部手术的建模阶段一样，他们先要为每个构建单元的刚度和弹性赋值，然后这些构建单元会受到邻近构建单元施加的推力和拉力。弹性理论的偏微分方程可以预测出每个构建单元会对这些力做出怎样的反应，最终在超级计算机的帮助下，所有这些反应被组合起来，用于预测机翼的总体振动情况。

同样，偏微分方程也可用于优化飞机发动机内的燃烧过程，这是一个尤为复杂的建模问题。它涉及三个不同学科的相互作用：化学（燃料在高温下会经历数百次化学反应），热流（当化学能被转化为使涡轮叶片快速旋转的机械能时，热量会在发动机内进行重新分配），流体流动（热气会在燃烧室内形成涡流，考虑到湍流的存在，预测热气的行为是一个极其困难的问题）。波音公司的研发团队一如既往地采用了阿基米德方法：先把大问题切分成若干小问题，解决所有小问题后再把它们拼合在一起。这是实践版的无穷原则，也是微积分所依赖的分治策略。尽管无穷原则在这里得到了超级计算机和一种被称为有限元分析的数值方法的帮助，但它的核心仍然是内置于微分方程的微积分。