无处不在的偏微分方程

无处不在的偏微分方程

微积分在现代科学中的应用主要体现在偏微分方程的建立、求解和解释上。麦克斯韦方程组是偏微分方程，关于弹性、声学、热流、流体流动和气体动力学的定律也是偏微分方程。这样的例子还有很多，用于为金融期权定价的布莱克–斯科尔斯模型[1]，以及用于描述电脉冲沿神经纤维的传导过程的霍奇金–赫胥黎模型[2]，它们都是偏微分方程。

即使在现代物理学的前沿，偏微分方程依然为其提供了数学基础架构。以爱因斯坦的广义相对论[3]为例，它将引力重新设想为四维时空弯曲的表现。经典的隐喻让我们把时空想象成一个好似蹦床表面的有弹性、可变形的结构，尽管通常情况下这个结构是紧绷的，但如果放上去某个重物（比如把一个大而重的保龄球放在它的中心），它就会在重量的作用下发生弯曲。同理，太阳等大质量天体也会使其周围的时空结构发生弯曲。现在想象某个更小的东西，比如一个小弹珠（代表一颗行星），在蹦床的弯曲表面上滚动。因为蹦床表面在保龄球的重量作用下产生凹陷，它会使弹珠的运动轨迹发生偏移。弹珠不再做直线运动，而是沿着弯曲表面的轮廓反复绕保龄球旋转。爱因斯坦说，这就是行星绕太阳运行的原因。它们并未感受到力，而只是在弯曲时空中沿阻力最小的路径运动。

尽管这个理论令人难以理解，但它的数学核心就是偏微分方程。微观世界的理论——量子力学——同样如此，它的控制方程——薛定谔方程[4]——也是一个偏微分方程。我们在下一章将更深入地研究这类方程，了解它们是什么，它们从何而来，以及它们为何对我们的日常生活来说至关重要。我们将会看到，偏微分方程不仅可以描述餐桌上那碗汤的冷却过程，还能解释微波炉加热它的过程。