CT与脑成像

CT与脑成像

微波擅长烹饪，而X射线擅长“看透”我们的身体，使骨折、颅骨骨折和脊柱弯曲的非侵入性诊断成为可能。遗憾的是，传统的黑白胶片捕捉的X射线对组织密度的细微变化不太敏感，这限制了它们在软组织和器官检查方面的有效性。CT扫描[1]是一种更先进的医学成像技术，它的灵敏度是传统X射线胶片的数百倍，使医学精密度发生了革命性变化。

CT扫描中的C代表computerized（电子计算机化的），T代表tomography（断层成像），指的是通过把某个物体切成薄片，使其实现可视化的过程。CT扫描利用X射线，一次一个切片地为某个器官或组织成像。当一位患者置身于CT扫描仪中时，X射线会从许多不同的角度穿过他的身体，另一侧的探测器则负责做记录。从所有信息（所有不同角度的视图）中，我们有可能更清楚地重构X射线穿过地方的图像。换句话说，CT不只是“看见”的问题，它还是关于推理、演绎和计算的问题。事实上，CT的最出色和最具革命性的部分，就是它对复杂数学的运用。在微积分、傅里叶分析、信号处理和计算机的帮助下，CT软件可以推断出X射线穿过的组织、器官或骨骼的性质，并生成这些身体部位的详细图像。

想知道微积分在其中是如何发挥作用的，我们先要了解CT解决了什么问题，以及它是如何解决这些问题的。

想象一下，发射一束X射线，让它穿过一个脑组织切片。X射线在行进过程中会遇到灰质、白质，可能还有脑肿瘤、血块等。根据类型的不同，这些组织会或多或少地吸收X射线的能量。CT的目标就是绘制出整个切片的吸收图样，并在其中显示出肿瘤或血块的可能位置。CT不能直接看见大脑，它看见的只是大脑中的X射线吸收图样。

数学就是这样发挥作用的。当X射线穿过大脑切片中的一个给定点时，它们的强度会损失一些，就像普通光穿过太阳镜后变得不那么明亮一样。这里的复杂之处在于，在X射线的行进路径上有一系列不同的脑组织，它们好像一连串太阳镜，一个排在另一个前面，不透明度各不相同。而且，我们不知道各种脑组织的不透明度，这正是我们试图解决的问题！

因为不同脑组织的吸收性质各异，当X射线穿过大脑并击中另一侧的X射线探测器时，它们的强度在此过程中经历了不同程度的衰减。为了计算所有这些减小量的净效应，我们必须弄清楚X射线在穿过脑组织的过程中，每行进无穷小的一步，它们的强度减小了多少，然后把所有结果恰当地组合起来。换言之，这个计算过程相当于积分。

积分学出现在这里，我们不应该对此感到惊讶，因为它是让这个非常复杂的问题变得更容易处理的最优方式。像往常一样，我们求助于无穷原则：先想象将X射线的行进路径切分成无穷多个无穷小步，然后弄清楚每走一步它们的强度衰减了多少，最后将所有答案重新组合在一起，计算出X射线沿特定路径行进的净衰减量。

遗憾的是，完成这一系列操作后，我们只获得了一条信息，即X射线沿特定路径行进的总衰减量。它不能告诉我们关于大脑切片的整体情况，甚至不能告诉我们关于X射线的特定行进路径的情况。它告诉我们的只是X射线沿这条路径行进的净衰减量，而不是点对点的衰减模式。

让我尝试用类比法来阐明这个难题：想一想，两个数字相加等于6的所有不同方法。正如数字6可以由1+5或2+4或3+3得到一样，相同的X射线净衰减量也可以由许多不同序列的局部衰减得到。比如，行进路径起点的衰减量大，而终点的衰减量小；或者情况正相反；或者自始至终衰减量都是恒定的中等水平。仅凭一次测量，我们无法区分出这些可能性。

然而，一旦我们认识到这个难题，立即就会知道该如何解决它。我们需要沿许多个不同的方向发射X射线，这是CT扫描技术的核心。从多个方向发射X射线，让它们经同一个点穿入组织，并在很多个不同的点上重复这个测量过程，通过这种方法，我们原则上可以绘制出大脑各处的衰减因子的图像。尽管这与直接查看大脑不是一回事，但效果几乎同样好，因为它提供了大脑的哪个区域出现了哪类组织的相关信息。

接下来面临的数学方面的挑战是，将所有测量结果重组成一幅关于大脑切片的连贯的二维图像。这正是需要用到傅里叶分析的地方，它帮助一位名叫阿兰·科马克[2]的南非物理学家解决了重组问题。之所以要用傅里叶分析，是因为这个问题中隐藏着一个圆，即所有路径（X射线从侧面被射入二维切片可能采取的所有方向）形成的圆。

记住，圆总是与正弦波有关，而正弦波又是傅里叶级数的构建单元。通过用傅里叶级数表示重组问题，科马克把二维的重组问题归结成更简单的一维问题，无须再考虑0~360度范围内的所有可能角度。然后，他凭借高超的积分技巧，成功地解决了这个一维重组问题。最后，他根据一整圈路径的测量结果，推断出内部组织的性质，并推导出吸收图谱。这简直就像看到了大脑本身一样。

1979年，由于在计算机辅助断层成像方面做出的贡献，科马克与高弗雷·豪斯费尔德共同获得了诺贝尔生理学或医学奖。然而，他们俩都不是医生。20世纪50年代末，科马克建立了基于傅里叶分析的CT扫描数学理论。20世纪70年代初，英国电气工程师豪斯费尔德与放射科医生合作发明了CT扫描仪。

CT扫描仪的发明再次证明了数学的不合常理的有效性。在这个例子中，使CT扫描成为可能的思想早在半个多世纪以前就产生了，并且与医学毫无关联。

这个故事的下半部分始于20世纪60年代末，当时豪斯费尔德已经在猪脑上测试了他发明的扫描仪样机。他不顾一切地想找一位临床放射科医生，帮他把这项成果应用于人类患者，但医生们纷纷拒绝与他见面。他们都认为豪斯费尔德是个疯子，因为他们知道X射线不可能让软组织可视化。比如，尽管传统的头部X射线片能清晰地显示出头骨，但大脑看起来就像一片毫无特点的云。不管豪斯菲尔德说什么，这些医生都固执地认为肿瘤、出血和血块是不可见的。

最终，有一位放射科医生同意听他把话说完。然而，这场谈话进行得并不顺利。在会面结束时，那位疑虑重重的放射科医生递给豪斯费尔德一个玻璃罐子，里面装着一个长有肿瘤的人脑，要求豪斯费尔德用他的扫描仪给它拍张X射线片。豪斯费尔德很快就带回了这个大脑的图像，上面不仅准确指出了肿瘤的位置，还确定了出血区域。

这位放射科医生惊呆了，消息一经传开，很快其他放射科医生也认可了豪斯费尔德的发明。1972年，豪斯费尔德发表了他的第一批CT扫描图像，震惊了医学界。忽然之间，放射科医生就可以用X射线看见肿瘤、囊肿、灰质、白质和充满液体的脑室了。

讽刺的是，由于波理论和傅里叶分析都源于对音乐的研究，所以在CT技术发展的关键时刻，音乐再次被证明是不可或缺之物。豪斯费尔德于20世纪60年代中期产生了这个突破性的想法，当时他在一家名叫EMI（“电子与音乐工业”，今天叫作“百代唱片”）的公司任职。他最早从事的是雷达和制导武器方面的研究工作，之后他把注意力转移到研发英国第一台全晶体管计算机上。在他大获成功之后，EMI公司决定支持豪斯费尔德去做他想做的任何项目。那时，EMI公司资金充裕，有冒险的经济实力。签下来自利物浦的披头士乐队[3]之后，EMI公司的利润增长了一倍。

豪斯费尔德向公司管理层提出了用X射线为器官成像的想法，EMI公司雄厚的资金实力帮助他迈出了第一步。他自己想出了用于解决重组问题的数学方法，却浑然不知科马克早在10年前就已经解决了这个问题。同样地，科马克也不知道一位名叫约翰·拉东的纯粹数学家先于他40年解决了这个问题，只是后者没考虑过它有何应用。对纯粹数学理解的追求给予了CT扫描所需的工具，并且比它的发明提早了半个世纪。

在诺贝尔奖获奖演说中，科马克提到他和他的同事托德·昆图研究过拉东的成果，并试图将它们推广到三维乃至四维区域。这对他的听众来说一定很难理解，既然我们生活在一个三维世界里，为什么还会有人想要研究四维大脑呢？科马克解释说：[4]

这些成果有什么用呢？答案是：我不知道。它们几乎肯定会在偏微分方程理论中产生一些定理，而且有的定理可能会在MRI或超声成像中得到应用。但这尚不确定，也无关紧要。昆图和我正在研究这些课题，因为它们本身就是有趣的数学问题，这才是科学的真谛。