索菲·柯瓦列夫斯卡娅发现的不可解性与陀螺方程的一个结构特性有关，即该方程是非线性的。我们在这里无须关注非线性的技术意义，就目的而言，我们只需要感受线性系统与非线性系统之间的区别，这一点通过思考日常生活中的一些例子即可实现。
为了说明线性系统是什么样子，我们假设有两个人纯粹出于玩乐的目的，同时上秤称他们的体重。两个人的总重量是他们各自的体重之和，这是因为秤是一种线性装置。他们的体重既不会相互影响，也不会导致任何需要注意的棘手情况。比如，他们的身体不会以某种方式互相串通，使总重量变轻，或者互相妨碍，使总重量变重。所以，它们只是相加。在像秤这样的线性系统中，整体等于部分之和，这是线性的第一个关键特性。线性的第二个特性是，原因与结果成正比。想象一下弓箭手拉弓弦的情景。如果把弓弦向后拉一定的距离需要花一定大小的力，那么将弓弦向后拉两倍的距离就需要花两倍大小的力。所以，原因和结果成正比。这两个特性（整体等于部分之和，原因和结果成正比）就是线性含义的本质。
然而，自然界中的许多事情都比拉弓弦复杂得多。当系统的各个部分互相干扰、合作或竞争时，就会发生非线性的相互作用。大部分日常活动显然都是非线性的，如果同时听你最喜欢的两首歌，你不会得到双倍的快乐。如果同时喝酒和吸毒，两者相互作用甚至会产生致命的结果。相比之下，花生酱和果冻搭配起来吃效果更佳，它们不是简单地相加，而是协同增效。
非线性让世界变得丰富多彩、美妙而复杂，还常常是不可预测的。比如，生物学的方方面面都是非线性的，社会学亦如此。这就是软科学很难也是最后才被数学化的原因。由于非线性的特性，它们一点儿也不“柔软”。
线性和非线性之间的区别同样适用于微分方程，但没有那么直观。需要说明的一点是，如果微分方程是非线性的，就像柯瓦列夫斯卡娅的陀螺那样，分析起来就会极其困难。从牛顿开始，数学家都尽可能地避免使用非线性微分方程，因为在他们看来，这类方程既令人不悦，又难以掌控。
相反，线性微分方程既令人愉悦，又容易驯服。数学家喜欢它们，就是因为它们简单。所以，解决这类方程的相关理论有很多。实际上，直到20世纪80年代前后，应用数学家受到的传统教育几乎完全集中在线性方法的运用上，其中有好几年都在学习傅里叶级数和其他求解线性方程的技巧。
线性的一大优势在于，它为还原论思维的运用创造了条件。要解决一个线性问题，我们可以先把它分解成几个最简单的部分，再分别求解每个部分，最后把它们组合起来得到答案。傅里叶正是利用这种还原论策略解出了他的热传导（线性）方程。他先把复杂的温度分布分解成多个正弦波，再算出所有正弦波各自的变化，最后将这些正弦波重新组合起来，去预测加热金属棒的整体温度变化情况。这个策略之所以可行，就是因为热传导方程是线性的，它可以在不失去其本质的情况下被切分成小段。
索菲·柯瓦列夫斯卡娅让我们认识到，当我们最终勇敢地面对非线性时，这个世界看上去会有多么不同。她意识到，非线性能限制人类的狂妄自大。如果一个系统是非线性的，它的行为就不可能用公式来预测，即使该行为是完全确定的。换句话说，决定论并不意味着可预测性。虽然陀螺只是一种小孩子的玩意，但它的运动能让我们在求知时怀有一颗谦逊之心。