混沌

混沌

现在回想起来，我们就能更清楚地知道为什么牛顿在尝试解决三体问题时会头疼了。三体问题和二体问题不同，前者无疑是非线性的，而后者可以被改造成线性的。非线性并不是由二体骤变为三体导致的，而是由方程本身的结构引发的。对两个而非三个或更多的引力体来说，非线性可以通过在微分方程中恰当地选择新变量来消除。

人们花了很长时间才充分认识到非线性有让人变得谦逊的作用。数学家为解决三体问题苦苦挣扎了几个世纪，尽管取得了些许进展，却没有人能彻底破解它。19世纪末，法国数学家亨利·庞加莱自认为解决了这个问题，[1]但他犯了一个错误。在修正了错误之后，尽管仍然无法解决三体问题，但他发现了更重要的现象，我们现在称之为混沌。

混沌系统[2]是非常讲究细节的，即使是开始方式的小小改变，也会产生大不相同的结果，这是因为初始条件的小变化会以指数方式放大。任何微小的误差或扰动都会像滚雪球一样迅速增大，以至于从长远看，这个系统会变得不可预测。混沌系统不是随机的，而是确定的，因此短期来看它们是可预测的。但长期来看，它们对微小的扰动十分敏感，以至于在许多方面实际上都是随机的。

混沌系统在某个时间之前是完全可以预测的，这个时间被称为可预测性时界[3]。在此之前，系统的确定性使其具有可预测性。根据计算，整个太阳系的可预测性时界[4]约为400万年。对于比这短得多的时间，比如地球绕太阳一周所需的时间（一年），一切都会像时钟一样有规律地运转。然而，一旦过了几百万年，一切就会变得无法预测。太阳系中所有天体之间微妙的引力摄动不断累积，直至我们再也无法准确地预测这个系统的行为。

庞加莱在研究过程中发现了可预测性时界的存在。在他之前，人们认为误差只会随着时间呈线性增长，而非指数增长；如果时间翻倍，误差也会翻倍。随着误差的线性增长，改进测量方法总能满足人们做出长期预测的需求。但是，当误差以指数方式迅速增长时，系统对其初始条件就会产生敏感依赖性，长期预测也会变得不再可行。这就是混沌系统在哲学上令人不安的地方。

理解混沌系统的上述特性至关重要。一直以来人们都知道像天气这样的大型复杂系统是很难预测的，但令人惊讶的是，像陀螺或三体这样的简单事物同样不可预测。这对天真地想把决定论与可预测性合并起来的拉普拉斯来说，是又一次打击。

从积极的方面看，混沌系统中之所以存在秩序的痕迹，是因为它们的确定性特征。庞加莱开发出分析非线性系统（包括混沌系统）的新方法，并找到了提取出隐藏其中的某些秩序的方法。他使用的是图像和几何学，而不是公式和代数；他的定性方法为拓扑学和动力系统等现代数学领域播下了种子。得益于他的开创性研究，我们现在对秩序和混沌都有了更好的理解。