庞加莱图

庞加莱图

我们不妨以伽利略研究过的钟摆摆动问题为例，说明庞加莱的方法是如何发挥作用的。利用牛顿运动定律并关注钟摆摆动时受到的力，我们可以画出一幅展示钟摆每时每刻的角度和速度变化情况的抽象示意图。这幅图基本上是对牛顿定律的一种视觉化翻译，除了微分方程中的已有要素外，图中没有任何其他新内容。简言之，它只是查看相同信息的另一种方式。

这幅图好像一幅展示乡村天气模式的示意图。在这样的图上，我们会看到表示局部传播方向，也就是天气锋面每时每刻的移动方式的箭头。这和微分方程提供的信息一样，和舞蹈指令给出的信息（比如，左脚放在这里，右脚放在那里）也一样。这样的图被称为矢量场图，上面的小箭头是矢量，表明如果单摆的角度和速度是现在这种情况，那么它们在片刻之后应该会变成什么样子。钟摆的矢量场图如图11–1所示：

在我们解释这幅图之前，请记住它是抽象的，因为它并没有展示出钟摆的实际形象。旋涡状的箭头图样不像一个挂在绳子上的重物，钟摆的照片可不是这样的。（矢量场图下方有钟摆摆动的草图，你可以从中体会这句话的意思。）矢量场图并不是对钟摆的现实描绘，而是展示钟摆状态从一个时刻到下一个时刻的变化情况的抽象图示。图上的每个点都代表钟摆的角度与速度在某个瞬间的可能组合，横轴代表钟摆的角度，纵轴代表它的速度。在任意时刻，如果知道了角度和速度，我们就可以定义钟摆的动态。当我们预测钟摆在下一时刻和此后各个时刻的角度和速度时，箭头可以提供我们所需的信息，我们要做的就只是跟着它们走。

箭头在中心附近的旋涡状排列方式，对应着几乎垂直向下的钟摆的简单往复运动；而顶部和底部箭头的波浪状排列方式，则对应着钟摆像螺旋桨一样有力地转过最高点的运动。牛顿和伽利略从未考虑过这种涡旋状运动，它们已经超出了经典方法的计算范围。然而，我们在庞加莱图[1]中可以清楚地看到涡旋状运动。现在，这种研究微分方程的定性方法是非线性动力学的所有相关领域——从激光物理学到神经科学——的一个重要组成部分。